QUESTÃO 18

O valor de \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} é igual a:
(A) -1 .
(B) 0 .
C 1 .
(D) 1 / 2.
(E) Outro resultado.

Passo 1

O enunciado pede o valor de \lim_{x\to 1}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x} e apresenta as alternativas:
(A) -1.
(B) 0.
(C) 1.
(D) 1/2.
(E) Outro resultado.
Informações dadas: a expressão cuja limite devemos avaliar é \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Vamos observar uma propriedade simples de limites que nos ajuda muito: se f e g são funções contínuas em um ponto a e g(a)\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}.
Explicando devagar: "contínua em a" significa que a função não tem salto ou buraco em a, então o limite quando x\to a é simplesmente o valor da função em a. Para uma fração, desde que o denominador no ponto não seja zero, podemos substituir x por a diretamente.

Passo 3

A função \operatorname{sen}(x) (que é a mesma função que escrevemos como \sin(x)) é contínua em todo número real; a função x também é contínua em todo lugar e, em particular, x em 1 vale 1, que não é zero. Logo, podemos aplicar a propriedade do passo anterior com f(x)=\operatorname{sen}(x), g(x)=x e a=1. Assim
\lim_{x\to 1}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=\frac{\operatorname{sen}(1)}{1}=\operatorname{sen}(1).
Ou seja, o limite vale exatamente \operatorname{sen}(1).

Passo 4

Para comparar com as alternativas, é útil aproximar numericamente \operatorname{sen}(1). Podemos usar a série de Taylor de \sin x centrada em 0, que é um resultado padrão e prático:
\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \cdots
Aqui cada termo usa fatoriais: 3! = 6, 5! = 120, 7! = 5040, etc. Isso é uma forma de aproximar \sin x com somas simples.

Passo 5

Aplicando essa série em x=1 (que é um valor pequeno o suficiente para a aproximação de poucos termos ser boa), temos
\sin(1)\approx 1 - \frac{1^{3}}{3!} + \frac{1^{5}}{5!} - \frac{1^{7}}{7!} = 1 - \frac{1}{6} + \frac{1}{120} - \frac{1}{5040}.
Agora calculando passo a passo (sem calculadora, só frações decimais aproximadas):
\frac{1}{6}\approx 0,1666667,\quad \frac{1}{120}\approx 0,0083333,\quad \frac{1}{5040}\approx 0,0001984.
Somando/subtraindo:
\sin(1)\approx 1 - 0,1666667 + 0,0083333 - 0,0001984 \approx 0,8414682.

Passo 6

Portanto
\lim_{x\to 1}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=\operatorname{sen}(1)\approx 0,8414682.
Comparando com as alternativas dadas: -1, 0, 1 e 1/2 correspondem a valores bem diferentes de 0,84. Logo a alternativa correta é a que diz “Outro resultado”.

Passo 7

Dica rápida para a prova (isso costuma confundir muita gente): a famosa identidade \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 vale apenas quando x\to 0. Aqui o limite é quando x\to 1, por isso não podemos usar esse resultado; em x=1 a razão vale simplesmente \sin(1).

Resposta

(E) Outro resultado.

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