QUESTÃO 18
O valor de
é igual a:
(A) -1 .
(B) 0 .
C 1 .
(D)
.
(E) Outro resultado.
(A) -1 .
(B) 0 .
(D)
(E) Outro resultado.
Passo 1
O enunciado pede o valor de
e apresenta as alternativas:
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
(E) Outro resultado.
Informações dadas: a expressão cuja limite devemos avaliar é quando
se aproxima de
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Outro resultado.
Informações dadas: a expressão cuja limite devemos avaliar é
Passo 2
Vamos observar uma propriedade simples de limites que nos ajuda muito: se
e
são funções contínuas em um ponto
e
, então
Explicando devagar: "contínua em
" significa que a função não tem salto ou buraco em
, então o limite quando
é simplesmente o valor da função em
. Para uma fração, desde que o denominador no ponto não seja zero, podemos substituir
por
diretamente.
Passo 3
A função
(que é a mesma função que escrevemos como
) é contínua em todo número real; a função
também é contínua em todo lugar e, em particular,
em
vale
, que não é zero. Logo, podemos aplicar a propriedade do passo anterior com
,
e
. Assim
Ou seja, o limite vale exatamente
.
Passo 4
Para comparar com as alternativas, é útil aproximar numericamente
. Podemos usar a série de Taylor de
centrada em
, que é um resultado padrão e prático:
Aqui cada termo usa fatoriais:
,
,
, etc. Isso é uma forma de aproximar
com somas simples.
Passo 5
Aplicando essa série em
(que é um valor pequeno o suficiente para a aproximação de poucos termos ser boa), temos
Agora calculando passo a passo (sem calculadora, só frações decimais aproximadas):
Somando/subtraindo:
Passo 6
Portanto
Comparando com as alternativas dadas:
,
,
e
correspondem a valores bem diferentes de
. Logo a alternativa correta é a que diz “Outro resultado”.
Passo 7
Dica rápida para a prova (isso costuma confundir muita gente): a famosa identidade
vale apenas quando
. Aqui o limite é quando
, por isso não podemos usar esse resultado; em
a razão vale simplesmente
.
Resposta
(E) Outro resultado.