QUESTÃO 15

Sabendo que x<1, podemos afirmar que valor de \left|x^{2}-1\right|, é igual a:
(A) x^{2}+1.
(B) x^{2}-1.
C -\left(x^{2}-1\right).
(D) -x^{2}-1.
(E) Não é possível concluir, pois x<1 não é uma condição suficiente.

Passo 1

O enunciado dá a condição x<1 e pede para afirmar qual expressão é igual a \left|x^{2}-1\right| entre as alternativas apresentadas.
Informações relevantes:
  • Temos a expressão cujo valor queremos: \left|x^{2}-1\right|.
  • A única informação sobre x é: x<1.
  • As alternativas são (A) \;x^{2}+1, (B) \;x^{2}-1, (C) -\left(x^{2}-1\right), (D) -x^{2}-1, (E) condição insuficiente.

Passo 2

Vamos recordar a definição básica de valor absoluto (essa é a ferramenta principal aqui). Para qualquer número real a\), por definição \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a \ge 0,\\[4pt] - a, & \text{se } a < 0. \end{cases}
Isto significa que dentro do valor absoluto precisamos saber o sinal do que está dentro. Aqui vamos aplicar com (a = x^{2}-1]. Então
\left|x^{2}-1\right| = \begin{cases} x^{2}-1, & \text{se } x^{2}-1 \ge 0,\\[4pt] -\left(x^{2}-1\right), & \text{se } x^{2}-1 < 0. \end{cases}]

Passo 3

Agora vamos descobrir para quais x temos x^{2}-1 \ge 0 ou x^{2}-1 < 0. Começo resolvendo
x^{2}-1 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2} \ge 1.
A desigualdade x^{2}\ge 1 significa que o módulo de x é maior ou igual a 1, isto é |x|\ge 1. Em termos de intervalos reais isso equivale a
x \le -1 \quad\text{ou}\quad x \ge 1.
Por outro lado,
x^{2}-1 < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2} < 1 \quad\Longleftrightarrow\quad -1 < x < 1.

Passo 4

Agora use a informação do enunciado x<1. Intersecando com os casos acima, temos duas possibilidades compatíveis com x<1:
\text{ou } x \le -1,\quad\text{ou } -1 < x < 1.
  • Se x \le -1, então x^{2}-1 \ge 0 e, pela definição do valor absoluto,
\left|x^{2}-1\right| = x^{2}-1.
  • Se -1 < x < 1, então x^{2}-1 < 0 e
\left|x^{2}-1\right| = -\left(x^{2}-1\right) = 1 - x^{2}.

Passo 5

Para fixar a ideia, vejamos exemplos numéricos (isso mostra que há realmente mais de uma forma possível):
  • Tome x=0 (satisfaz -1<x<1 e x<1). Então
\left|0^{2}-1\right| = |{-1}| = 1,
que é igual a -\left(x^{2}-1\right)=1, não a x^{2}-1.
  • Tome x=-2 (satisfaz x\le -1 e x<1). Então
\left|(-2)^{2}-1\right| = |4-1| = 3,
que é igual a x^{2}-1=3, não a -\left(x^{2}-1\right).
Esses dois exemplos mostram que, com a única informação x<1, o valor de \left|x^{2}-1\right| pode ser igual a x^{2}-1 ou a -\left(x^{2}-1\right), dependendo do intervalo onde x está.

Passo 6

Conclusão: a condição x<1 não determina unicamente qual das expressões das alternativas é igual a \left|x^{2}-1\right|. Portanto não é possível concluir uma única alternativa correta entre (A)–(D). A alternativa correta é a que diz que a condição é insuficiente.

Resposta

(E)

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