QUESTÃO 19

O valor de \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(7 x)}{x} é igual a:
(A) 0 .
(B) 1 .
C 7 .
(D) 1 / 7.
(E) Outro resultado.

Passo 1

O enunciado pede o valor de \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(7x)}{x}.
Informações dadas: a função envolvida é \operatorname{sen}(7x) e o ponto onde o limite é tomado é x=0.
A tarefa: calcular esse limite e escolher a alternativa correta entre (A) a (E).

Passo 2

Vamos recordar um resultado fundamental e muito usado:
\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.
Explicando por que isso é verdade (prova curta usando o Teorema do Confronto / Squeeze): para 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica
\cos t < \frac{\operatorname{sen} t}{t} < 1.
Como \displaystyle\lim_{t\to 0}\cos t = 1 e o lado superior é 1, pelo Teorema do Confronto concluímos que
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
(Isto é o que normalmente chamam de “limite fundamental da trigonometria”.)

Passo 3

Agora manipule a expressão usando uma substituição simples para aproveitar o limite fundamental. Defina u=7x. Então quando x\to 0 temos u\to 0. Além disso x=\dfrac{u}{7}. Substituindo na razão original:
\frac{\operatorname{sen}(7x)}{x}=\frac{\operatorname{sen}(u)}{u/7}=7\cdot\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}.

Passo 4

Usamos as propriedades de limites (constante pode sair do limite e mudança de variável):
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(7x)}{x}=\lim_{u\to 0}7\cdot\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=7\cdot\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}.
Pelo resultado do Passo 2 temos \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1. Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(7x)}{x}=7\cdot 1 = 7.

Passo 5

Interpretação rápida para a prova (dica prática): sempre que aparecer \displaystyle\frac{\operatorname{sen}(a x)}{x} com x\to 0, faça u=ax e obtenha a\cdot\frac{\operatorname{sen}u}{u}, que tende a a. Exemplo extra: \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{x}=3.

Resposta

(C) 7.

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