QUESTÃO 19
O valor de
é igual a:
(A) 0 .
(B) 1 .
C 7 .
(D)
.
(E) Outro resultado.
(A) 0 .
(B) 1 .
(D)
(E) Outro resultado.
Passo 1
O enunciado pede o valor de
.
Informações dadas: a função envolvida é e o ponto onde o limite é tomado é
.
A tarefa: calcular esse limite e escolher a alternativa correta entre (A) a (E).
Informações dadas: a função envolvida é
A tarefa: calcular esse limite e escolher a alternativa correta entre (A) a (E).
Passo 2
Vamos recordar um resultado fundamental e muito usado:
Explicando por que isso é verdade (prova curta usando o Teorema do Confronto / Squeeze): para vale a desigualdade geométrica
Explicando por que isso é verdade (prova curta usando o Teorema do Confronto / Squeeze): para
Como
e o lado superior é
, pelo Teorema do Confronto concluímos que
(Isto é o que normalmente chamam de “limite fundamental da trigonometria”.)
Passo 3
Agora manipule a expressão usando uma substituição simples para aproveitar o limite fundamental. Defina
. Então quando
temos
. Além disso
. Substituindo na razão original:
Passo 4
Usamos as propriedades de limites (constante pode sair do limite e mudança de variável):
Pelo resultado do Passo 2 temos
. Portanto
Passo 5
Interpretação rápida para a prova (dica prática): sempre que aparecer
com
, faça
e obtenha
, que tende a
. Exemplo extra:
.
Resposta
(C) 7.