Questão 19 - As coordenadas retangulares de uma partícula que se move com movimento curvilíneo são dadas por
e
, onde x e y estão em milímetros e o tempo
está em segundos, começando em
. Determine a velocidade ve a aceleração a da partícula quando
. Além disso, determine o tempo em que a velocidade da partícula faz um ângulo de
com o eixo x.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas retangulares da partícula em função do tempo
(em segundos) e pede duas coisas:
- Determinar a velocidade
e a aceleração da partícula quando . - Determinar o(s) tempo(s) em que a velocidade da partícula faz um ângulo de
com o eixo .
As informações fornecidas são:
As unidades são:
e
em milímetros e
em segundos.
Nada mais é fornecido — seguimos com essas expressões.
Nada mais é fornecido — seguimos com essas expressões.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- A velocidade vetorial
tem componentes iguais às derivadas temporais das coordenadas: Interpretando: é a taxa de variação de por segundo e é a taxa de variação de por segundo. - A aceleração vetorial
é a derivada da velocidade: - Regra básica de derivação que usaremos: para um termo
(com constante), Exemplos: . - Se quisermos o módulo (velocidade escalar) usamos
- O ângulo
que a velocidade faz com o eixo (medido a partir do eixo positivo no sentido anti-horário) é dado por e se apenas pedirem tal que (isto é no primeiro quadrante) podemos usar a condição lembrando que essa igualdade pode ocorrer em diferentes quadrantes (por exemplo ambos positivos ou ambos negativos).
Passo 3
Derivamos
e
termo a termo para obter as componentes da velocidade:
Aplicando a regra
:
Calcule os coeficientes numéricos:
logo
Agora para
:
Calcule o coeficiente:
logo
Passo 4
Derivando as componentes da velocidade obtemos a aceleração:
Calcule
, então
E
porque a derivada de uma constante é zero e de
é
.
Passo 5
Avaliação em
. Primeiro as componentes da velocidade:
Calcule passo a passo:
Logo
Portanto
Agora
:
logo
Portanto
Velocidade vetorial em
:
Módulo (rapidez) da velocidade:
Agora a aceleração em
:
logo
E
Portanto
Módulo da aceleração:
Passo 6
Determinar os tempos em que a velocidade faz ângulo de
com o eixo
.
Usamos a condição
(porque
). Então
Colocando tudo na forma padrão:
Some termos:
Multiplicando por
para facilitar:
Usamos a fórmula quadrática
com
. O discriminante:
Calcule:
logo
As raízes são
Calcule as duas soluções:
Interpretação de quadrantes (importante): em
temos
e
, logo o ângulo é realmente
no primeiro quadrante. Em
temos
e
, ou seja a razão
também se satisfaz, mas a direção é a do terceiro quadrante (ângulo
medido a partir do eixo positivo
); nesse caso a velocidade faz um ângulo de
com o eixo
em valor absoluto (a linha forma 45°), mas a orientação é oposta (225°). Portanto há duas soluções numéricas, uma correspondente a
no primeiro quadrante e outra no terceiro quadrante.