Questão 19 - As coordenadas retangulares de uma partícula que se move com movimento curvilíneo são dadas por \mathrm{x}=10,25 \mathrm{t}+1,75 \mathrm{t}^{2}-0,45 \mathrm{t}^{3} e \mathrm{y}=6,32+14,65 \mathrm{t}-2,48 \mathrm{t}^{2}, onde x e y estão em milímetros e o tempo t está em segundos, começando em t=0. Determine a velocidade ve a aceleração a da partícula quando \mathrm{t}=5 \mathrm{~s}. Além disso, determine o tempo em que a velocidade da partícula faz um ângulo de 45^{\circ} com o eixo x.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas retangulares da partícula em função do tempo t (em segundos) e pede duas coisas:
  1. Determinar a velocidade \mathbf{v} e a aceleração \mathbf{a} da partícula quando t=5\\ \mathrm{s}.
  2. Determinar o(s) tempo(s) em que a velocidade da partícula faz um ângulo de 45^\circ com o eixo x.
As informações fornecidas são:
x(t)=10,25\,t+1,75\,t^{2}-0,45\,t^{3}
y(t)=6,32+14,65\,t-2,48\,t^{2}
As unidades são: x e y em milímetros e t em segundos.
Nada mais é fornecido — seguimos com essas expressões.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • A velocidade vetorial \mathbf{v}(t) tem componentes iguais às derivadas temporais das coordenadas: \mathbf{v}(t)=\big(v_x(t),\,v_y(t)\big),\quad v_x(t)=\frac{dx}{dt},\; v_y(t)=\frac{dy}{dt}.Interpretando: v_x é a taxa de variação de x por segundo e v_y é a taxa de variação de y por segundo.
  • A aceleração vetorial \mathbf{a}(t) é a derivada da velocidade: \mathbf{a}(t)=\big(a_x(t),\,a_y(t)\big),\quad a_x(t)=\frac{dv_x}{dt},\; a_y(t)=\frac{dv_y}{dt}.
  • Regra básica de derivação que usaremos: para um termo c\,t^{n} (com c constante), \frac{d}{dt}\big(c\,t^n\big)=c\,n\,t^{n-1}.Exemplos: \frac{d}{dt}(t)=1,\; \frac{d}{dt}(t^2)=2t,\; \frac{d}{dt}(t^3)=3t^2.
  • Se quisermos o módulo (velocidade escalar) usamos \|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.
  • O ângulo \theta que a velocidade faz com o eixo x (medido a partir do eixo positivo x no sentido anti-horário) é dado por \theta=\operatorname{atan2}(v_y,v_x),e se apenas pedirem \theta tal que \tan\theta=1 (isto é \theta=45^\circ no primeiro quadrante) podemos usar a condição \frac{v_y}{v_x}=1 \quad\Longrightarrow\quad v_y=v_x,lembrando que essa igualdade pode ocorrer em diferentes quadrantes (por exemplo ambos positivos ou ambos negativos).

Passo 3

Derivamos x(t) e y(t) termo a termo para obter as componentes da velocidade:
x(t)=10,25\,t+1,75\,t^{2}-0,45\,t^{3}
Aplicando a regra \frac{d}{dt}(c\,t^n)=c n t^{n-1}:
v_x(t)=\frac{dx}{dt}=10,25+2\cdot1,75\,t-3\cdot0,45\,t^{2}.
Calcule os coeficientes numéricos:
2\cdot1,75=3,5,\qquad 3\cdot0,45=1,35,
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v_x(t)=10,25+3,5\,t-1,35\,t^{2}.
Agora para y(t):
y(t)=6,32+14,65\,t-2,48\,t^{2}
v_y(t)=\frac{dy}{dt}=14,65-2\cdot2,48\,t.
Calcule o coeficiente:
2\cdot2,48=4,96,
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v_y(t)=14,65-4,96\,t.

Passo 4

Derivando as componentes da velocidade obtemos a aceleração:
a_x(t)=\frac{dv_x}{dt}=\frac{d}{dt}\big(10,25+3,5\,t-1,35\,t^{2}\big)=3,5-2\cdot1,35\,t.
Calcule 2\cdot1,35=2,7, então
a_x(t)=3,5-2,7\,t.
E
a_y(t)=\frac{dv_y}{dt}=\frac{d}{dt}\big(14,65-4,96\,t\big)=-4,96,
porque a derivada de uma constante é zero e de -4,96\,t é -4,96.

Passo 5

Avaliação em t=5\\ \mathrm{s}. Primeiro as componentes da velocidade:
v_x(5)=10,25+3,5\cdot5-1,35\cdot5^{2}.
Calcule passo a passo:
3,5\cdot5=17,5,\qquad 5^{2}=25,\qquad 1,35\cdot25=33,75.
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v_x(5)=10,25+17,5-33,75=27,75-33,75=-6,00.
Portanto v_x(5)=-6,00\\ \text{mm/s}.
Agora v_y(5):
v_y(5)=14,65-4,96\cdot5.
4,96\cdot5=24,80,
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v_y(5)=14,65-24,80=-10,15.
Portanto v_y(5)=-10,15\\ \text{mm/s}.
Velocidade vetorial em t=5:
\mathbf{v}(5)=\big(-6,00,\;-10,15\big)\\ \text{mm/s}.
Módulo (rapidez) da velocidade:
\|\mathbf{v}(5)\|=\sqrt{(-6,00)^{2}+(-10,15)^{2}}=\sqrt{36+103,0225}=\sqrt{139,0225}\approx11,79\\ \text{mm/s}.
Agora a aceleração em t=5:
a_x(5)=3,5-2,7\cdot5.
2,7\cdot5=13,5,
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a_x(5)=3,5-13,5=-10,00\\ \text{mm/s}^{2}.
E
a_y(5)=-4,96\\ \text{mm/s}^{2}.
Portanto
\mathbf{a}(5)=\big(-10,00,\;-4,96\big)\\ \text{mm/s}^{2}.
Módulo da aceleração:
\|\mathbf{a}(5)\|=\sqrt{(-10,00)^{2}+(-4,96)^{2}}=\sqrt{100+24,6016}=\sqrt{124,6016}\approx11,16\\ \text{mm/s}^{2}.

Passo 6

Determinar os tempos em que a velocidade faz ângulo de 45^\circ com o eixo x.
Usamos a condição v_y(t)=v_x(t) (porque \tan45^\circ=1). Então
10,25+3,5\,t-1,35\,t^{2}=14,65-4,96\,t.
Colocando tudo na forma padrão:
-1,35\,t^{2}+3,5\,t+4,96\,t+10,25-14,65=0.
Some termos:
-1,35\,t^{2}+8,46\,t-4,40=0.
Multiplicando por -1 para facilitar:
1,35\,t^{2}-8,46\,t+4,40=0.
Usamos a fórmula quadrática t=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} com a=1,35,\\ b=-8,46,\\ c=4,40. O discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-8,46)^{2}-4\cdot1,35\cdot4,40.
Calcule:
(-8,46)^{2}=71,5716,\qquad 4\cdot1,35\cdot4,40=23,7600,
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\Delta=71,5716-23,7600=47,8116.
\sqrt{\Delta}\approx6,916.
As raízes são
t=\frac{8,46\pm\sqrt{47,8116}}{2\cdot1,35}=\frac{8,46\pm6,916}{2,70}.
Calcule as duas soluções:
t_{1}=\frac{8,46-6,916}{2,70}=\frac{1,544}{2,70}\approx0,5719\\ \mathrm{s},
t_{2}=\frac{8,46+6,916}{2,70}=\frac{15,376}{2,70}\approx5,6926\\ \mathrm{s}.
Interpretação de quadrantes (importante): em t\approx0,5719\\ \mathrm{s} temos v_x>0 e v_y>0, logo o ângulo é realmente \theta=45^\circ no primeiro quadrante. Em t\approx5,6926\\ \mathrm{s} temos v_x<0 e v_y<0, ou seja a razão v_y/v_x=1 também se satisfaz, mas a direção é a do terceiro quadrante (ângulo 225^\circ medido a partir do eixo positivo x); nesse caso a velocidade faz um ângulo de 45^\circ com o eixo x em valor absoluto (a linha forma 45°), mas a orientação é oposta (225°). Portanto há duas soluções numéricas, uma correspondente a 45^\circ no primeiro quadrante e outra no terceiro quadrante.

Resposta

\mathbf{v}(5)=\big(-6,00,\;-10,15\big)\\ \text{mm/s} \big(\|\mathbf{v}(5)\|\approx11,79\\ \text{mm/s}\big)\n
\mathbf{a}(5)=\big(-10,00,\;-4,96\big)\\ \text{mm/s}^{2} \big(\|\mathbf{a}(5)\|\approx11,16\\ \text{mm/s}^{2}\big)\n
t\approx0,5719\\ \mathrm{s} e t\approx5,6926\\ \mathrm{s}

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