Questão 19. Decomponha o polinômio x^{4}-5 x^{2}+6 em produtos de fatores irredutíveis sobre os seguintes corpos:
(a) \mathbb{Q}
(b) \mathbb{Q}[\sqrt{2}]
(c) \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para decompor o polinômio x^{4}-5x^{2}+6 em produto de fatores irredutíveis sobre três corpos diferentes:
(a) sobre \mathbb{Q},
(b) sobre \mathbb{Q}[\sqrt{2}],
(c) sobre \mathbb{R}.
As informações dadas são apenas o próprio polinômio x^{4}-5x^{2}+6. A tarefa é fatorá‑lo e justificar quando cada fator é irreduzível no corpo pedido.

Passo 2

Primeiro vamos ver uma fatoração óbvia: trate o polinômio como uma quadrática em x^{2}. Faça a substituição y=x^{2}. Então o polinômio vira
y^{2}-5y+6.
Para fatorar uma quadrática do tipo y^{2}-5y+6 procuramos dois números cujo produto é 6 e cuja soma é 5. Esses números são 2 e 3. Logo
y^{2}-5y+6=(y-2)(y-3).
Voltando para x (substituindo y=x^{2}), obtemos a fatoração
x^{4}-5x^{2}+6=(x^{2}-2)(x^{2}-3).
Até aqui é uma fatoração sobre qualquer corpo (a expressão é algebraicamente equivalente).

Passo 3

Agora precisamos analisar a irreduzibilidade dos fatores (x^{2}-2) e (x^{2}-3) sobre cada corpo pedido. Primeiro, conceito rápido e útil: um polinômio quadrático monico x^{2}-d é redutível sobre um corpo F se, e somente se, \sqrt{d}\in F. Se \sqrt{d}\notin F então x^{2}-d não tem raízes em F e, sendo monico de grau 2, é irreduzível em F[x].
Aplicando isso a \mathbb{Q}: sabemos que \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} e \sqrt{3}\notin\mathbb{Q}. Um argumento clássico: se \sqrt{2} fosse racional, existir p/q em termos primos tal que (p/q)^2=2 leva a contradição paridade; análogo para \sqrt{3}. Portanto ambos os polinômios quadráticos não têm raiz racional, então são irreduzíveis em \mathbb{Q}[x]. Concluímos que, sobre \mathbb{Q},
x^{4}-5x^{2}+6=(x^{2}-2)(x^{2}-3)
é a decomposição em fatores irredutíveis.

Passo 4

Agora sobre \mathbb{Q}[\sqrt{2}]. Por definição \sqrt{2}\in\mathbb{Q}[\sqrt{2}], então x^{2}-2 admite as raízes \pm\sqrt{2} nesse corpo e se fatora em fatores lineares:
x^{2}-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\quad\text{em }\mathbb{Q}[\sqrt{2}][x].
Resta verificar x^{2}-3. Precisamos saber se \sqrt{3}\in\mathbb{Q}[\sqrt{2}]. Elementos de \mathbb{Q}[\sqrt{2}] têm a forma a+b\sqrt{2} com a,b\in\mathbb{Q}. Suponha, por contradição, que exista a,b\in\mathbb{Q} tais que
a+b\sqrt{2}=\sqrt{3}.
Elevando ao quadrado obtemos
a^{2}+2b^{2}+2ab\sqrt{2}=3.
Igualando as partes racionais e a parte multiplicando \sqrt{2}, vem o sistema
2ab=0,\qquad a^{2}+2b^{2}=3.
Da primeira equação vem a=0 ou b=0. Se b=0 então a^{2}=3, impossível com a\in\mathbb{Q}. Se a=0 então 2b^{2}=3, também impossível com b\in\mathbb{Q}. Portanto não existe tal a,b, ou seja \sqrt{3}\notin\mathbb{Q}[\sqrt{2}]. Logo x^{2}-3 continua sem raízes em \mathbb{Q}[\sqrt{2}] e é irreduzível aí. Concluímos a fatoração em \mathbb{Q}[\sqrt{2}][x]:
x^{4}-5x^{2}+6=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x^{2}-3).

Passo 5

Finalmente, sobre \mathbb{R}: os números \sqrt{2} e \sqrt{3} pertencem a \mathbb{R}, então ambos os quadráticos se decompõem em fatores lineares reais:
x^{2}-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}),\qquad x^{2}-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}).
Portanto a fatoração completa sobre \mathbb{R} é
x^{4}-5x^{2}+6=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}).

Resposta

(a) (x^{2}-2)(x^{2}-3)
(b) (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x^{2}-3)
(c) (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})

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