Questão 19. Decomponha o polinômio
em produtos de fatores irredutíveis sobre os seguintes corpos:
(a)
(b)
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para decompor o polinômio
em produto de fatores irredutíveis sobre três corpos diferentes:
(a) sobre ,
(b) sobre ,
(c) sobre .
As informações dadas são apenas o próprio polinômio . A tarefa é fatorá‑lo e justificar quando cada fator é irreduzível no corpo pedido.
(a) sobre
(b) sobre
(c) sobre
As informações dadas são apenas o próprio polinômio
Passo 2
Primeiro vamos ver uma fatoração óbvia: trate o polinômio como uma quadrática em
. Faça a substituição
. Então o polinômio vira
Para fatorar uma quadrática do tipo
procuramos dois números cujo produto é
e cuja soma é
. Esses números são
e
. Logo
Voltando para
(substituindo
), obtemos a fatoração
Até aqui é uma fatoração sobre qualquer corpo (a expressão é algebraicamente equivalente).
Passo 3
Agora precisamos analisar a irreduzibilidade dos fatores
e
sobre cada corpo pedido. Primeiro, conceito rápido e útil: um polinômio quadrático monico
é redutível sobre um corpo
se, e somente se,
. Se
então
não tem raízes em
e, sendo monico de grau
, é irreduzível em
.
Aplicando isso a
: sabemos que
e
. Um argumento clássico: se
fosse racional, existir
em termos primos tal que
leva a contradição paridade; análogo para
. Portanto ambos os polinômios quadráticos não têm raiz racional, então são irreduzíveis em
. Concluímos que, sobre
,
é a decomposição em fatores irredutíveis.
Passo 4
Agora sobre
. Por definição
, então
admite as raízes
nesse corpo e se fatora em fatores lineares:
Resta verificar
. Precisamos saber se
. Elementos de
têm a forma
com
. Suponha, por contradição, que exista
tais que
Elevando ao quadrado obtemos
Igualando as partes racionais e a parte multiplicando
, vem o sistema
Da primeira equação vem
ou
. Se
então
, impossível com
. Se
então
, também impossível com
. Portanto não existe tal
, ou seja
. Logo
continua sem raízes em
e é irreduzível aí. Concluímos a fatoração em
:
Passo 5
Finalmente, sobre
: os números
e
pertencem a
, então ambos os quadráticos se decompõem em fatores lineares reais:
Portanto a fatoração completa sobre
é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)