Questão 21. Mostre que o polinômio p=x^{2}-\overline{3} é irredutível sobre \mathbb{Z}_{5}. Mais ainda, se J=(p), então o corpo \mathbb{Z}_{5}[x] / J possui exatamente 25 elementos.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio p = x^{2} - \overline{3} considerado em \mathbb{Z}_{5}[x]. Ele pede duas coisas:
Mostrar que p é irredutível sobre \mathbb{Z}_{5}.
Se J=(p) for o ideal gerado por p, mostrar que o corpo \mathbb{Z}_{5}[x]/J tem exatamente \,25 elementos.
Informações relevantes que já temos no enunciado:
\mathbb{Z}_{5} é o anel dos resto modulares mod \,5; na verdade é um corpo com exatamente \,5 elementos, cujos elementos escrevemos como \overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}.
O polinômio p tem coeficientes em \mathbb{Z}_{5}.
Precisamos usar propriedades básicas de polinômios sobre um corpo e contagem de classes no quociente.
Passo 2
O que significa ser irredutível aqui?
Um polinômio não-constante f\in\mathbb{Z}_{5}[x] é irredutível se não pode ser escrito como produto f=g\cdot h com g,h\in\mathbb{Z}_{5}[x] ambos de grau ≥ 1. Uma observação importante e útil para polinômios de grau \,2 (ou \,3) sobre um corpo é:
Teorema prático: Se F é um corpo e f\in F[x] tem grau \,2 (ou \,3), então f é irreduzível em F[x] se, e somente se, f não tem raíz em F.
Por que isso é verdade? Se um polinômio de grau \,2 fosse reduzível, teria que fatorar como produto de dois polinômios de grau \,1, isto é, teria um fator linear x-a com a\in F, o que significa que a é raíz. Reciprocamente, se existir uma raiz a então x-a divide f, e para grau \,2 o outro fator tem grau \,1, então f é reduzível.
Logo, para mostrar que p é irreduzível basta verificar que p não tem nenhuma raiz em \mathbb{Z}_{5}.
Passo 3
Vamos testar todas as possibilidades de x\in\mathbb{Z}_{5} para ver se existe a tal que a^{2}=\overline{3}. Primeiro calculemos os quadrados em \mathbb{Z}_{5}.
Portanto o conjunto dos quadrados em \mathbb{Z}_{5} é \{\overline{0},\overline{1},\overline{4}\}. Observe que \overline{3} não aparece nessa lista.
Passo 4
Concluímos do passo anterior que não existe a\in\mathbb{Z}_{5} com a^{2}=\overline{3}. Assim p(x)=x^{2}-\overline{3} não tem raiz em \mathbb{Z}_{5}. Pela observação do passo 2 (caso grau \,2), isso implica que p é irredutível em \mathbb{Z}_{5}[x].
(Sentido intuitivo: se p fosse redutível teria um fator linear e, portanto, uma raiz; como não tem raiz, não fatora.)
Passo 5
Agora vamos estudar o quociente \mathbb{Z}_{5}[x]/J com J=(p). Dois fatos-chave que vamos usar:
Se p é irreduzível em F[x] (com F corpo), então o ideal (p) é maximal, e portanto o quociente F[x]/(p) é um corpo. Aqui F=\mathbb{Z}_{5}, logo \mathbb{Z}_{5}[x]/(p) é um corpo (uma extensão de \mathbb{Z}_{5}).
Pelo algoritmo da divisão em F[x], qualquer polinômio f(x)\in F[x] pode ser escrito como f(x)=q(x)\,p(x)+r(x) com \deg r < \deg p. Isso implica que cada classe em F[x]/(p) tem um representante único de grau menor que \deg p.
No nosso caso \deg p = 2. Então cada classe em \mathbb{Z}_{5}[x]/(p) tem um representante único da forma
r(x)=\overline{a}+\overline{b}\,x,
com \overline{a},\overline{b}\in\mathbb{Z}_{5}.
Passo 6
Contagem final: como \overline{a} pode assumir \,5 valores distintos em \mathbb{Z}_{5} e \overline{b} também pode assumir \,5 valores, o número total de polinômios da forma \overline{a}+\overline{b}x é \,5\cdot5=25. Esses representam todas as classes de \mathbb{Z}_{5}[x]/(p), logo o corpo \mathbb{Z}_{5}[x]/J tem exatamente \,25 elementos.
Resposta
p=x^{2}-\overline{3} é irreduzível em \mathbb{Z}_{5}[x]. \mathbb{Z}_{5}[x]/J tem exatamente \,25 elementos.