Questão 19 Desenhe os gráficos dos pares de funções a seguir, explicando como obter o gráfico indicado da função g, por transformações de translação vertical, horizontal, compressão ou expansão de gráficos da função mais básica f.
Básica f(x)=\cos (x); obtenha o gráfico de g(x)=\cos (2 x-\pi).

Passo 1

O enunciado pede para desenhar os gráficos da função básica f e da função g, e explicar como obter o gráfico de g a partir de transformações aplicadas ao gráfico de f.
Informações dadas:
  • Função básica: f(x)=\cos(x).
  • Função a obter: g(x)=\cos(2x-\pi).
O que é pedido explicitamente:
  • Desenhar (ou descrever como desenhar) o gráfico de g.
  • Explicar passo a passo quais transformações (translação vertical/horizontal, compressão/expansão, reflexões) aplicam-se ao gráfico de f para obter o gráfico de g.
Dados úteis que usaremos depois:
  • Amplitude (de f): 1.
  • Periodicidade (de f): período de \cos(x) é 2\pi.
  • Valores-nota comuns de \cos: \cos(0)=1, \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0, \cos(\pi)=-1, \cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0, \cos(2\pi)=1.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Transformações horizontais e seus efeitos:
    • Se temos y=f(x), então y=f(x-h) corresponde a uma translação horizontal para a direita de h unidades (porque cada ponto x do gráfico de f aparece agora em x+h).
    • Se temos y=f(bx) com b>1, isso corresponde a uma compressão horizontal por fator b (o gráfico é “apertado” horizontalmente): o novo período fica dividido por b. Em particular, para funções trigonométricas, se o período de f é T, o período de f(bx) é \dfrac{T}{b}.
    • Ordem prática (útil para montar transformações): para combinar compressão horizontal e deslocamento em expressão do tipo f\bigl(b(x-h)\bigr), é mais simples pensar primeiro na compressão (formar f(bx)) e depois na translação horizontal (repor x por x-h para obter f(b(x-h))). Isso evita confusão com fatores.
  • Reflexão vertical: y=-f(x) é o gráfico de f refletido em relação ao eixo x (troca máximos por mínimos e vice‑versa).
  • Para funções do tipo \cos(bx-c) é conveniente reescrever como \cos\bigl(b(x-\tfrac{c}{b})\bigr) para identificar a compressão b e o deslocamento h=\tfrac{c}{b}.
Exemplo rápido e concreto:
  • Se f(x)=\cos(x), então f(2x)=\cos(2x) tem período \pi (porque 2 multiplica o argumento, então o período 2\pi passa a ser \tfrac{2\pi}{2}=\pi).
  • Se depois fazemos f(2(x-h))=\cos(2(x-h)), isso corresponde à compressão por 2 seguida de uma translação para a direita de h.

Passo 3

Aplique isso a g(x)=\cos(2x-\pi).
Primeiro, reescrevemos para identificar claramente o fator de compressão e o deslocamento:
g(x)=\cos(2x-\pi)=\cos\bigl(2\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\bigr).
Da forma \cos\bigl(2(x-h)\bigr) identificamos:
  • fator b=2 (compressão horizontal por 2),
  • deslocamento horizontal h=\tfrac{\pi}{2} para a direita.
Interpretação prática:
  • Começando do gráfico de f(x)=\cos(x):
    1. Faça uma compressão horizontal com fator b=2. Isso transforma \cos(x) em \cos(2x). Consequências: o período passa de 2\pi para \dfrac{2\pi}{2}=\pi; os máximos e mínimos acontecem mais próximos.
    2. Depois, faça uma translação horizontal para a direita de h=\tfrac{\pi}{2}. Em termos operacionais, substitui-se x por x-\tfrac{\pi}{2} em \cos(2x), obtendo \cos\bigl(2(x-\tfrac{\pi}{2})\bigr)=\cos(2x-\pi).
Observação alternativa (útil para interpretação): usando identidade trigonométrica,
\cos(2x-\pi)=\cos(2x)\cos\pi+\sin(2x)\sin\pi=\cos(2x)(-1)+0=-\cos(2x).
Logo, g(x) também pode ser visto como o gráfico de \cos(2x) refletido verticalmente (multiplicado por -1). Isso dá uma sequência alternativa de transformações: primeiro compressão por 2 para obter \cos(2x), depois reflexão vertical para obter -\cos(2x). As duas descrições (compressão+deslocamento ou compressão+reflexão) são consistentes porque, para estas fases específicas, deslocar \cos(2x) por \tfrac{\pi}{2} produz exatamente -\cos(2x) (simetria do cosseno).

Passo 4

Calcule propriedades numéricas e pontos para desenhar (passo a passo, bem mastigado):
Periodo e amplitude:
  • Amplitude de g: mesma de f, isto é 1 (não há fator multiplicativo vertical).
  • Período de g: \dfrac{2\pi}{2}=\pi.
Encontrando pontos-chave (usamos a relação \;2x-\pi=t\;, onde t são os pontos canônicos do \cos):
Tomamos os pontos canônicos t=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi (valores do argumento da função cosseno) e achamos os correspondentes x resolvendo 2x-\pi=t, ou seja x=\dfrac{t+\pi}{2}.
Tabela de valores (muito prática para desenhar um período de g):
  • Para t=0: x=\dfrac{0+\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2} e g\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos(0)=1. (máximo)
  • Para t=\tfrac{\pi}{2}: x=\dfrac{\tfrac{\pi}{2}+\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{4} e g\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0. (zero descendente)
  • Para t=\pi: x=\dfrac{\pi+\pi}{2}=\pi e g(\pi)=\cos(\pi)=-1. (mínimo)
  • Para t=\tfrac{3\pi}{2}: x=\dfrac{\tfrac{3\pi}{2}+\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{4} e g\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0. (zero crescente)
  • Para t=2\pi: x=\dfrac{2\pi+\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{2} e g\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=\cos(2\pi)=1. (próximo máximo)
Observação sobre espaçamento: esses pontos estão igualmente espaçados em x por \tfrac{\pi}{4} (por exemplo \tfrac{3\pi}{4}-\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi}{4}, etc.). Isso é consistente com o período \pi, pois uma volta completa vai de \tfrac{\pi}{2} até \tfrac{3\pi}{2}.

Passo 5

Como desenhar o gráfico de g usando os passos práticos (uma receita pronta para a prova):
Método A (compressão horizontal + deslocamento):
  1. Comece com o gráfico padrão de f(x)=\cos(x).
  2. Aplique compressão horizontal por fator 2: cada abscissa x do cosseno original passa para x/2 na forma \cos(2x); visualmente, a onda fica “mais frequente” — o período passa a ser \pi.
  3. Depois, desloque todo o gráfico resultante para a direita em h=\tfrac{\pi}{2}. O ponto que antes estava em x=0 (máximo) agora estará em x=\tfrac{\pi}{2}, e assim por diante. Marque os pontos cruciais da tabela do Passo 4 e ligue com a forma típica de cosseno.
Método B (compressão + reflexão — alternativa rápida):
  1. Faça compressão horizontal por 2 para obter \cos(2x).
  2. Repare que \cos(2x-\pi)=-\cos(2x), então reflita verticalmente o gráfico de \cos(2x). O resultado é o mesmo gráfico de g.
Dicas de desenho:
  • Marque os máximos em y=1 e mínimos em y=-1.
  • Use os pontos \left(\tfrac{\pi}{2},1\right), \left(\tfrac{3\pi}{4},0\right), \left(\pi,-1\right), \left(\tfrac{5\pi}{4},0\right), \left(\tfrac{3\pi}{2},1\right) para um período completo.
  • Depois repita o padrão para a esquerda e para a direita, respeitando o período \pi.

Passo 6

Resumo interpretativo e formas alternativas (útil para a prova, escolha a que você achar mais simples na hora):
  • Identidade de forma: \;g(x)=\cos\bigl(2(x-\tfrac{\pi}{2})\bigr)\;.
    • Interpretação direta: compressão horizontal por 2 seguida de translação para a direita de \tfrac{\pi}{2}.
  • Identidade alternativa: \;g(x)=-\cos(2x)\;.
    • Interpretação alternativa: compressão horizontal por 2 seguida de reflexão vertical.
Ambas as descrições são verdadeiras e dão o mesmo gráfico; escolha a sequência de transformações que você achar mais fácil de aplicar ao desenhar rapidamente.

Resposta

O gráfico de g(x)=\cos(2x-\pi) é obtido a partir do gráfico de f(x)=\cos(x) aplicando-se primeiro uma compressão horizontal com fator 2 (o período passa de 2\pi para \pi) e depois uma translação horizontal para a direita de \tfrac{\pi}{2}. Alternativamente, g(x)=-\cos(2x), ou seja, pode-se obter g comprimindo horizontalmente f por 2 e refletindo verticalmente. Pontos-chave de um período de g: \bigl(\tfrac{\pi}{2},1\bigr), \bigl(\tfrac{3\pi}{4},0\bigr), (\pi,-1), \bigl(\tfrac{5\pi}{4},0\bigr), \bigl(\tfrac{3\pi}{2},1\bigr).

Exercícios relacionados