Questão 19 Desenhe os gráficos dos pares de funções a seguir, explicando como obter o gráfico indicado da função
, por transformações de translação vertical, horizontal, compressão ou expansão de gráficos da função mais básica
.
Básica
; obtenha o gráfico de
.
Básica
Passo 1
O enunciado pede para desenhar os gráficos da função básica
e da função
, e explicar como obter o gráfico de
a partir de transformações aplicadas ao gráfico de
.
Informações dadas:
- Função básica:
. - Função a obter:
.
O que é pedido explicitamente:
- Desenhar (ou descrever como desenhar) o gráfico de
. - Explicar passo a passo quais transformações (translação vertical/horizontal, compressão/expansão, reflexões) aplicam-se ao gráfico de
para obter o gráfico de .
Dados úteis que usaremos depois:
- Amplitude (de
): . - Periodicidade (de
): período de é . - Valores-nota comuns de
: , , , , .
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Transformações horizontais e seus efeitos:
- Se temos
, então corresponde a uma translação horizontal para a direita de unidades (porque cada ponto do gráfico de aparece agora em ). - Se temos
com , isso corresponde a uma compressão horizontal por fator (o gráfico é “apertado” horizontalmente): o novo período fica dividido por . Em particular, para funções trigonométricas, se o período de é , o período de é . - Ordem prática (útil para montar transformações): para combinar compressão horizontal e deslocamento em expressão do tipo
, é mais simples pensar primeiro na compressão (formar ) e depois na translação horizontal (repor por para obter ). Isso evita confusão com fatores.
- Se temos
- Reflexão vertical:
é o gráfico de refletido em relação ao eixo (troca máximos por mínimos e vice‑versa). - Para funções do tipo
é conveniente reescrever como para identificar a compressão e o deslocamento .
Exemplo rápido e concreto:
- Se
, então tem período (porque multiplica o argumento, então o período passa a ser ). - Se depois fazemos
, isso corresponde à compressão por seguida de uma translação para a direita de .
Passo 3
Aplique isso a
.
Primeiro, reescrevemos para identificar claramente o fator de compressão e o deslocamento:
Da forma
identificamos:
- fator
(compressão horizontal por ), - deslocamento horizontal
para a direita.
Interpretação prática:
- Começando do gráfico de
: - Faça uma compressão horizontal com fator
. Isso transforma em . Consequências: o período passa de para ; os máximos e mínimos acontecem mais próximos. - Depois, faça uma translação horizontal para a direita de
. Em termos operacionais, substitui-se por em , obtendo .
- Faça uma compressão horizontal com fator
Observação alternativa (útil para interpretação): usando identidade trigonométrica,
Logo,
também pode ser visto como o gráfico de
refletido verticalmente (multiplicado por
). Isso dá uma sequência alternativa de transformações: primeiro compressão por
para obter
, depois reflexão vertical para obter
. As duas descrições (compressão+deslocamento ou compressão+reflexão) são consistentes porque, para estas fases específicas, deslocar
por
produz exatamente
(simetria do cosseno).
Passo 4
Calcule propriedades numéricas e pontos para desenhar (passo a passo, bem mastigado):
Periodo e amplitude:
- Amplitude de
: mesma de , isto é (não há fator multiplicativo vertical). - Período de
: .
Encontrando pontos-chave (usamos a relação
, onde
são os pontos canônicos do
):
Tomamos os pontos canônicos (valores do argumento da função cosseno) e achamos os correspondentes
resolvendo
, ou seja
.
Tomamos os pontos canônicos
Tabela de valores (muito prática para desenhar um período de
):
- Para
: e . (máximo) - Para
: e . (zero descendente) - Para
: e . (mínimo) - Para
: e . (zero crescente) - Para
: e . (próximo máximo)
Observação sobre espaçamento: esses pontos estão igualmente espaçados em
por
(por exemplo
, etc.). Isso é consistente com o período
, pois uma volta completa vai de
até
.
Passo 5
Como desenhar o gráfico de
usando os passos práticos (uma receita pronta para a prova):
Método A (compressão horizontal + deslocamento):
- Comece com o gráfico padrão de
. - Aplique compressão horizontal por fator
: cada abscissa do cosseno original passa para na forma ; visualmente, a onda fica “mais frequente” — o período passa a ser . - Depois, desloque todo o gráfico resultante para a direita em
. O ponto que antes estava em (máximo) agora estará em , e assim por diante. Marque os pontos cruciais da tabela do Passo 4 e ligue com a forma típica de cosseno.
Método B (compressão + reflexão — alternativa rápida):
- Faça compressão horizontal por
para obter . - Repare que
, então reflita verticalmente o gráfico de . O resultado é o mesmo gráfico de .
Dicas de desenho:
- Marque os máximos em
e mínimos em . - Use os pontos
, , , , para um período completo. - Depois repita o padrão para a esquerda e para a direita, respeitando o período
.
Passo 6
Resumo interpretativo e formas alternativas (útil para a prova, escolha a que você achar mais simples na hora):
- Identidade de forma:
. - Interpretação direta: compressão horizontal por
seguida de translação para a direita de .
- Interpretação direta: compressão horizontal por
- Identidade alternativa:
. - Interpretação alternativa: compressão horizontal por
seguida de reflexão vertical.
- Interpretação alternativa: compressão horizontal por
Ambas as descrições são verdadeiras e dão o mesmo gráfico; escolha a sequência de transformações que você achar mais fácil de aplicar ao desenhar rapidamente.
Resposta
O gráfico de
é obtido a partir do gráfico de
aplicando-se primeiro uma compressão horizontal com fator
(o período passa de
para
) e depois uma translação horizontal para a direita de
. Alternativamente,
, ou seja, pode-se obter
comprimindo horizontalmente
por
e refletindo verticalmente. Pontos-chave de um período de
:
,
,
,
,
.