Questão 19 Desenhe os gráficos dos pares de funções a seguir, explicando como obter o gráfico indicado da função
, por transformações de translação vertical, horizontal, compressão ou expansão de gráficos da função mais básica
.
Básica
; obtenha o gráfico de
.
Básica
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o gráfico de
partindo do gráfico da função básica
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Função básica:
. - Função a obter:
.
O que se pede explicitamente: explicar como obter o gráfico depor transformações (translação, compressão/expansão) a partir do gráfico de e desenhar (ou indicar) esse gráfico.
Passo 2
Relembrando as propriedades fundamentais do gráfico da função básica
(uma micro-aula):
- Domínio: todos os
tais que . Em notação: . - Imagem (contradomínio relevante): todos os
. Em notação: . - Ponto inicial (onde começa a curva):
. - Comportamento: é crescente para
e tem uma curva que cresce mais devagar quando aumenta (forma de raiz quadrada, concava para baixo). - Exemplos de pontos fáceis de calcular:
-
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto .
Esses pontos servem de “esqueleto” para desenhar o gráfico de: traçar e ligar suavemente.
-
Passo 3
Entendendo a transformação horizontal por substituição interna (mini-aula sobre transformações horizontais):
- Em geral, se temos
, o gráfico de é deslocado unidades para a direita. - Se temos
, o gráfico de é deslocado unidades para a esquerda.
Por que isso acontece? Faça a substituição. Então com . O valor (onde começa) ocorre quando . Logo a origem do gráfico de aparece em para , ou seja, deslocamento para a esquerda quando somamos dentro da raiz. Isso é apenas consequência de como a variável dentro da função foi deslocada.
Passo 4
Aplicando a regra ao caso dado:
- Temos
. Isso é da forma com . - Pelo raciocínio do passo anterior, isto desloca o gráfico de
horizontalmente unidades para a esquerda.
Sem ainda escrever a conclusão final (estou mostrando os cálculos que justificam esse deslocamento):
Passo 5
Determinar domínio, imagem e pontos correspondentes de
(passos calculados para desenhar na prova):
- Domínio de
: resolver ⇒ . Assim . - Imagem de
: como é uma raiz quadrada não-negativa, . - Ponto inicial (onde a curva começa):
dá . Então o ponto inicial é . - Mapear alguns pontos de
em (útil para desenhar): - Como
, obtemos — corresponde a deslocar para . - Como
, obtemos — ponto . - Como
, obtemos — ponto .
Esses pontos mostram claramente a curva deslocada para a esquerda.
- Como
Passo 6
Como desenhar passo a passo (instrução prática que dá para seguir na prova sem calculadora):
- Desenhe os eixos coordenados e marque o ponto
— o ponto onde a curva de começa. - Marque também
e (esses três pontos já definem bem a forma). - Ligue esses pontos com uma curva suave que segue o formato de raiz quadrada: começa em
, sobe rapidamente perto de e depois cresce cada vez mais devagar à medida que . - Verifique que para
a função está definida e que para não existe (não há ramo à esquerda de ).
Observação: não há nenhuma compressão ou expansão vertical/horizontal além da translação; o fator multiplicativo é.
Passo 7
Resumo conceitual para lembrar rápido na prova (como um truque de bolso):
- Olhe para a expressão dentro da raiz. Se for
, pense “deslocar para a esquerda 7”. Regra prática: sinal trocado dentro → deslocamento no sentido oposto (ou seja, dentro ⇒ esquerda 7; dentro ⇒ direita 7). - Confirme desenhando o ponto inicial obtido por resolver o domínio
.
Resposta
O gráfico de
é o gráfico de
deslocado
unidades para a esquerda; domínio
; pontos principais:
,
,
.