Questão 19 Desenhe os gráficos dos pares de funções a seguir, explicando como obter o gráfico indicado da função g, por transformações de translação vertical, horizontal, compressão ou expansão de gráficos da função mais básica f.
Básica f(x)=\sqrt{x}; obtenha o gráfico de g(x)=\sqrt{x+7}.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico de g(x)=\sqrt{x+7} partindo do gráfico da função básica f(x)=\sqrt{x}.
Informações dadas:
  • Função básica: f(x)=\sqrt{x}.
  • Função a obter: g(x)=\sqrt{x+7}.
    O que se pede explicitamente: explicar como obter o gráfico de g por transformações (translação, compressão/expansão) a partir do gráfico de f e desenhar (ou indicar) esse gráfico.

Passo 2

Relembrando as propriedades fundamentais do gráfico da função básica f(x)=\sqrt{x} (uma micro-aula):
  • Domínio: todos os x tais que x\ge0. Em notação: \mathrm{dom}(f)=[0,\infty).
  • Imagem (contradomínio relevante): todos os y\ge0. Em notação: \mathrm{im}(f)=[0,\infty).
  • Ponto inicial (onde começa a curva): (0,0).
  • Comportamento: é crescente para x\ge0 e tem uma curva que cresce mais devagar quando x aumenta (forma de raiz quadrada, concava para baixo).
  • Exemplos de pontos fáceis de calcular:
    • f(0)=\sqrt{0}=0 → ponto (0,0).
    • f(1)=\sqrt{1}=1 → ponto (1,1).
    • f(4)=\sqrt{4}=2 → ponto (4,2).
      Esses pontos servem de “esqueleto” para desenhar o gráfico de f: traçar (0,0),(1,1),(4,2) e ligar suavemente.

Passo 3

Entendendo a transformação horizontal por substituição interna (mini-aula sobre transformações horizontais):
  • Em geral, se temos h(x)=f(x-c), o gráfico de f é deslocado c unidades para a direita.
  • Se temos h(x)=f(x+c), o gráfico de f é deslocado c unidades para a esquerda.
    Por que isso acontece? Faça a substituição u=x+c. Então h(x)=f(u) com u=x+c. O valor u=0 (onde f começa) ocorre quando x=-c. Logo a origem do gráfico de f aparece em x=-c para h, ou seja, deslocamento para a esquerda quando somamos dentro da raiz. Isso é apenas consequência de como a variável dentro da função foi deslocada.

Passo 4

Aplicando a regra ao caso dado:
  • Temos g(x)=\sqrt{x+7}. Isso é da forma f(x+c) com c=7.
  • Pelo raciocínio do passo anterior, isto desloca o gráfico de f horizontalmente 7 unidades para a esquerda.
    Sem ainda escrever a conclusão final (estou mostrando os cálculos que justificam esse deslocamento):

Passo 5

Determinar domínio, imagem e pontos correspondentes de g (passos calculados para desenhar na prova):
  • Domínio de g: resolver x+7\ge0 x\ge-7. Assim \mathrm{dom}(g)=[-7,\infty).
  • Imagem de g: como g é uma raiz quadrada não-negativa, \mathrm{im}(g)=[0,\infty).
  • Ponto inicial (onde a curva começa): x=-7 g(-7)=\sqrt{-7+7}=\sqrt{0}=0. Então o ponto inicial é (-7,0).
  • Mapear alguns pontos de f em g (útil para desenhar):
    • Como f(0)=0, obtemos g(-7)=0 — corresponde a deslocar (0,0) para (-7,0).
    • Como f(1)=1, obtemos g(-6)=1 — ponto (-6,1).
    • Como f(4)=2, obtemos g(-3)=2 — ponto (-3,2).
      Esses pontos mostram claramente a curva deslocada para a esquerda.

Passo 6

Como desenhar passo a passo (instrução prática que dá para seguir na prova sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos coordenados e marque o ponto (-7,0) — o ponto onde a curva de g começa.
  2. Marque também (-6,1) e (-3,2) (esses três pontos já definem bem a forma).
  3. Ligue esses pontos com uma curva suave que segue o formato de raiz quadrada: começa em (-7,0), sobe rapidamente perto de -7 e depois cresce cada vez mais devagar à medida que x\to\infty.
  4. Verifique que para x>-7 a função está definida e que para x<-7 não existe (não há ramo à esquerda de -7).
    Observação: não há nenhuma compressão ou expansão vertical/horizontal além da translação; o fator multiplicativo é 1.

Passo 7

Resumo conceitual para lembrar rápido na prova (como um truque de bolso):
  • Olhe para a expressão dentro da raiz. Se for x+7, pense “deslocar para a esquerda 7”. Regra prática: sinal trocado dentro → deslocamento no sentido oposto (ou seja, +7 dentro ⇒ esquerda 7; -7 dentro ⇒ direita 7).
  • Confirme desenhando o ponto inicial obtido por resolver o domínio x+7=0.

Resposta

O gráfico de g(x)=\sqrt{x+7} é o gráfico de f(x)=\sqrt{x} deslocado 7 unidades para a esquerda; domínio [-7,\infty); pontos principais: (-7,0), (-6,1), (-3,2).

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