Questão 19 Desenhe os gráficos dos pares de funções a seguir, explicando como obter o gráfico indicado da função
, por transformações de translação vertical, horizontal, compressão ou expansão de gráficos da função mais básica
.
Básica
; obtenha o gráfico de
.
Básica
Passo 1
O enunciado pede para obter o gráfico de
a partir do gráfico da função básica
, usando transformações (translação vertical/horizontal, compressão/expansão).
Informações dadas:
Informações dadas:
- Função básica:
. - Função a obter:
.
O que é pedido: - Descrever como obter o gráfico de
por transformações aplicadas ao gráfico de . - Desenhar/indicar o gráfico resultante (no texto, indicaremos pontos e comportamento para que você consiga desenhar facilmente).
Passo 2
Características importantes do gráfico de
(para você visualizar antes da transformação):
- Domínio de
: . - Imagem (contradomínio prático) de
: , porque raiz quadrada dá valores não negativos. - Pontos-chave do gráfico de
: , , , . Esses pontos vêm de calcular para . - Formato: curva que parte em
, cresce para a direita, com crescimento cada vez mais devagar (concavidade para baixo no senso visual). No ponto a inclinação é muito grande (tende a infinito), ou seja, a curva sobe “rápido” perto da origem.
Passo 3
Entendendo a transformação horizontal
:
- Regra geral: se uma função
é dada por com constante , então o gráfico de é o gráfico de deslocado unidades para a direita. Se , desloca-se unidades para a esquerda. - Demonstração simples por mapeamento de pontos: suponha que
esteja no gráfico de , isto é . Considere o ponto . Então
ou seja, o ponto
pertence ao gráfico de
. Portanto cada ponto do gráfico de
é movido para a direita em
unidades para obter o gráfico de
.
- Observação: a translação horizontal não altera as alturas (
-valores) — apenas muda onde esses valores ocorrem ao longo do eixo .
Passo 4
Aplicando ao caso
:
- Escrevemos
como composição de : . Aqui . - Pela regra do passo anterior, o gráfico de
é o gráfico de deslocado unidades para a direita.
Passo 5
Construindo pontos de
a partir de
(prática passo a passo):
- Pegue cada ponto conhecido de
e some na coordenada . -
: → : . -
: → : . -
: → : . -
: → : .
-
- Com esses pontos marcados fica fácil desenhar a curva: liga-os com uma curva suave seguindo o mesmo formato de
, só que deslocada à direita.
Passo 6
Domínio, imagem e interceptos de
:
- Domínio: resolver
dá . Logo domínio de é . - Imagem: como a expressão dentro da raiz varia em
quando , a imagem continua sendo . - Interceptos:
- Intercepto com o eixo
: ocorre quando . . Então o gráfico corta o eixo em . - Intercepto com o eixo
: não existe, pois não pertence ao domínio (0<2).
- Intercepto com o eixo
Passo 7
Como desenhar na prova (passo a passo prático, sem calculadora):
- Desenhe os eixos
e . - Marque o ponto inicial da curva em
: coloque o ponto . - Marque os pontos
, e — são fáceis porque vêm da tabela acima e ajudam a “guiar” a forma. - Ligue esses pontos com uma curva suave que tenha o mesmo formato da raiz quadrada (subida rápida perto de
e crescimento mais lento depois). - Escreva ao lado: “este é o gráfico de
deslocado 2 unidades para a direita”.
Passo 8
Dicas, erros comuns e memória fácil:
- Lembrete prático: dentro de
, o faz a curva ir para a direita (contrário do que a intuição do sinal pode sugerir). Mnemonico: dentro=direita quando é . - Não houve compressão/expansão vertical ou reflexões neste caso — apenas translação horizontal.
- Se em outro exercício aparecer
, aí seria uma translação vertical para cima em 2 unidades (ou seja, somar fora da raiz desloca verticalmente).
Passo 9
Resumo final do procedimento (para gravar rápido antes da prova):
- Reconhecer que
significa deslocamento horizontal de unidades para a direita. - Mudar os pontos-chave de
adicionando na coordenada . - Conhecer domínio e imagem: domínio
, imagem .
Resposta
O gráfico de
é o gráfico de
deslocado
unidades para a direita.
Domínio de :
.
Imagem de :
.
Pontos de referência: .
Domínio de
Imagem de
Pontos de referência: