Questão 19 Desenhe os gráficos dos pares de funções a seguir, explicando como obter o gráfico indicado da função g, por transformações de translação vertical, horizontal, compressão ou expansão de gráficos da função mais básica f.
Básica f(x)=\sqrt{x}; obtenha o gráfico de g(x)=\sqrt{x-2}.

Passo 1

O enunciado pede para obter o gráfico de g(x)=\sqrt{x-2} a partir do gráfico da função básica f(x)=\sqrt{x}, usando transformações (translação vertical/horizontal, compressão/expansão).
Informações dadas:
  • Função básica: f(x)=\sqrt{x}.
  • Função a obter: g(x)=\sqrt{x-2}.
    O que é pedido:
  • Descrever como obter o gráfico de g por transformações aplicadas ao gráfico de f.
  • Desenhar/indicar o gráfico resultante (no texto, indicaremos pontos e comportamento para que você consiga desenhar facilmente).

Passo 2

Características importantes do gráfico de f(x)=\sqrt{x} (para você visualizar antes da transformação):
  • Domínio de f: \{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 0\} = [0,\infty).
  • Imagem (contradomínio prático) de f: [0,\infty), porque raiz quadrada dá valores não negativos.
  • Pontos-chave do gráfico de f: (0,0), (1,1), (4,2), (9,3). Esses pontos vêm de calcular f(x) para x=0,1,4,9.
  • Formato: curva que parte em (0,0), cresce para a direita, com crescimento cada vez mais devagar (concavidade para baixo no senso visual). No ponto x=0 a inclinação é muito grande (tende a infinito), ou seja, a curva sobe “rápido” perto da origem.

Passo 3

Entendendo a transformação horizontal f(x-h):
  • Regra geral: se uma função h(x) é dada por h(x)=f(x-c) com constante c>0, então o gráfico de h é o gráfico de f deslocado c unidades para a direita. Se c<0, desloca-se |c| unidades para a esquerda.
  • Demonstração simples por mapeamento de pontos: suponha que (a,b) esteja no gráfico de f, isto é b=f(a). Considere o ponto x=a+c. Então
h(a+c)=f((a+c)-c)=f(a)=b,
ou seja, o ponto (a+c,b) pertence ao gráfico de h. Portanto cada ponto do gráfico de f é movido para a direita em c unidades para obter o gráfico de h.
  • Observação: a translação horizontal não altera as alturas ( y-valores) — apenas muda onde esses valores ocorrem ao longo do eixo x.

Passo 4

Aplicando ao caso g(x)=\sqrt{x-2}:
  • Escrevemos g(x) como composição de f: g(x)=f(x-2). Aqui c=2.
  • Pela regra do passo anterior, o gráfico de g é o gráfico de f deslocado 2 unidades para a direita.

Passo 5

Construindo pontos de g a partir de f (prática passo a passo):
  • Pegue cada ponto conhecido de f e some 2 na coordenada x.
    • f: (0,0) g: (0+2,0)=(2,0).
    • f: (1,1) g: (1+2,1)=(3,1).
    • f: (4,2) g: (4+2,2)=(6,2).
    • f: (9,3) g: (9+2,3)=(11,3).
  • Com esses pontos marcados fica fácil desenhar a curva: liga-os com uma curva suave seguindo o mesmo formato de f, só que deslocada à direita.

Passo 6

Domínio, imagem e interceptos de g:
  • Domínio: resolver x-2\ge 0 x\ge 2. Logo domínio de g é [2,\infty).
  • Imagem: como a expressão dentro da raiz varia em [0,\infty) quando x\in[2,\infty), a imagem continua sendo [0,\infty).
  • Interceptos:
    • Intercepto com o eixo x: ocorre quando g(x)=0. \sqrt{x-2}=0\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2. Então o gráfico corta o eixo x em (2,0).
    • Intercepto com o eixo y: não existe, pois x=0 não pertence ao domínio (0<2).

Passo 7

Como desenhar na prova (passo a passo prático, sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque o ponto inicial da curva em x=2: coloque o ponto (2,0).
  3. Marque os pontos (3,1), (6,2) e (11,3) — são fáceis porque vêm da tabela acima e ajudam a “guiar” a forma.
  4. Ligue esses pontos com uma curva suave que tenha o mesmo formato da raiz quadrada (subida rápida perto de x=2 e crescimento mais lento depois).
  5. Escreva ao lado: “este é o gráfico de f(x)=\sqrt{x} deslocado 2 unidades para a direita”.

Passo 8

Dicas, erros comuns e memória fácil:
  • Lembrete prático: dentro de f(x-h), o -h faz a curva ir para a direita (contrário do que a intuição do sinal pode sugerir). Mnemonico: dentro=direita quando é (x - \text{positivo}).
  • Não houve compressão/expansão vertical ou reflexões neste caso — apenas translação horizontal.
  • Se em outro exercício aparecer g(x)=\sqrt{x}+2, aí seria uma translação vertical para cima em 2 unidades (ou seja, somar fora da raiz desloca verticalmente).

Passo 9

Resumo final do procedimento (para gravar rápido antes da prova):
  • Reconhecer que g(x)=f(x-2) significa deslocamento horizontal de 2 unidades para a direita.
  • Mudar os pontos-chave de f adicionando 2 na coordenada x.
  • Conhecer domínio e imagem: domínio [2,\infty), imagem [0,\infty).

Resposta

O gráfico de g(x)=\sqrt{x-2} é o gráfico de f(x)=\sqrt{x} deslocado 2 unidades para a direita.
Domínio de g: [2,\infty).
Imagem de g: [0,\infty).
Pontos de referência: (2,0),(3,1),(6,2),(11,3).

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