Questão 19: Encontre o polinômio interpolador para o conjunto de pontos \{(-2,-47),(0,-3),(1,4),(2,41)\}. Então, faça um gráfico com os pontos e o polinômio interpolador encontrado.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio interpolador que passa pelos pontos \{(-2,-47),(0,-3),(1,4),(2,41)\}. Esse é um caso clássico de interpolação polinomial de grau até 3, e vamos usar a fórmula de Lagrange para construir o polinômio.

Passo 2

Definimos as bases de Lagrange L_i(x) para i=0,1,2,3, sendo
L_0(x)=\frac{(x-0)(x-1)(x-2)}{(-2-0)(-2-1)(-2-2)},\quad L_1(x)=\frac{(x+2)(x-1)(x-2)}{(0+2)(0-1)(0-2)},
L_2(x)=\frac{(x+2)(x-0)(x-2)}{(1+2)(1-0)(1-2)},\quad L_3(x)=\frac{(x+2)(x-0)(x-1)}{(2+2)(2-0)(2-1)}.
Em seguida o polinômio interpolador é
P(x)=\sum_{i=0}^{3}y_i\,L_i(x),
onde (x_i,y_i) são nossos pontos.

Passo 3

Calculando cada denominador e simplificando, obtemos
L_0(x)=\frac{x(x-1)(x-2)}{-24},\quad L_1(x)=\frac{(x+2)(x-1)(x-2)}{4},
L_2(x)=-\frac{(x+2)x(x-2)}{3},\quad L_3(x)=\frac{(x+2)x(x-1)}{8}.
Logo
P(x)=-47\,L_0(x)-3\,L_1(x)+4\,L_2(x)+41\,L_3(x).

Passo 4

Expandindo e somando os termos em x^3,x^2,x e constante, toda a parte em x^2 se anula, e chega-se a
P(x)=5x^3+2x-3.

Passo 5

Para visualizar, segue um exemplo de plot em Python:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-3, 3, 200)
y \(=5\)*x**\(3+2\)*x - 3
plt.plot(x, y, label='P(x)=5x³+2x−3')
plt.scatter([-2,0,1,2], [-47,-3,4,41],
 color='red', label='pontos')
plt.axhline(0,color='gray',linewidth\(=0.5\))
plt.axvline(0,color='gray',linewidth\(=0.5\))
plt.legend(); plt.grid()
plt.show()
Isso mostra a curva cúbica passando exatamente pelos quatro pontos dados.

Resposta

P(x)=5x^3+2x-3.

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