Questão 9: Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os sistemas:
h) \left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{2}-3 x_{4}+x_{5}=0 \\\ x_{1}+2 x_{2}+x_{3}-3 x_{4}+x_{5}+2 x_{6}=0 \\\ x_{1}+2 x_{2}-3 x_{4}+2 x_{5}+x_{6}=0 \\\\ 3 x_{1}+6 x_{2}+x_{3}-9 x_{4}+4 x_{5}+3 x_{6}=0\end{array}\right.
Questão 10: Encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções:
\left\{\begin{array}{l} x+2 y-3 z=4 \\\\ 3 x-y+5 z=2 \\\\ 4 x+y+\left(a^{2}-14\right) z=a+2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado traz dois problemas de sistemas lineares. No item (h) da Questão 9 temos um sistema homogêneo com 4 equações e 6 incógnitas, para resolvermos com o método de Gauss–Jordan e expressar a solução geral em termos de parâmetros livres. Na Questão 10 temos um sistema 3\times3 dependente de um parâmetro a; precisamos achar para quais valores de a o sistema não tem solução, tem solução única ou tem infinitas soluções, usando determinante e análise de consistência.

Passo 2

Para o item (h) escrevemos a matriz aumentada na ordem (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6}):
\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 2 & 1 & -3 & 1 & 2 & 0\\\\ 1 & 2 & 0 & -3 & 2 & 1 & 0\\\\ 3 & 6 & 1 & -9 & 4 & 3 & 0 \end{array}\right].
Subtrairíamos a linha 1 de linhas 2 e 3, e 3 vezes a linha 1 da linha 4:
R_2\gets R_2-R_1,\quad R_3\gets R_3-R_1,\quad R_4\gets R_4-3R_1
resultando em
\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

Continuamos eliminando na coluna 3 usando a nova linha 2:
R_4\gets R_4-R_2
e obtemos
\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right].
A última linha é repetida, logo o posto é 3 e as variáveis de pivô são x_{1},x_{3},x_{5}. As variáveis livres são x_{2},x_{4},x_{6}.

Passo 4

Das equações escalonadas:
\begin{cases} x_{5}+x_{6}=0,\\\ x_{3}+2x_{6}=0,\\\ x_{1}+2x_{2}-3x_{4}+x_{5}=0, \end{cases}
segue
x_{5}=-x_{6},\quad x_{3}=-2x_{6},\quad x_{1}=-2x_{2}+3x_{4}+x_{6}.
Definindo parâmetros livres s=x_{2},\,t=x_{4},\,u=x_{6}, a solução geral é
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6}) =\bigl(-2s+3t+u,\;s,\;-2u,\;t,\;-\,u,\;u\bigr).

Passo 5

Para a Questão 10, o sistema é
\begin{cases} x+2y-3z=4,\\\\ 3x-y+5z=2,\\\\ 4x+y+(a^2-14)z=a+2. \end{cases}
O determinante da matriz dos coeficientes é
\det = -7\bigl(a^2-16\bigr) =-7(a-4)(a+4).
Logo \det\neq0 sempre que a\neq\pm4, garantindo solução única nesses casos.

Passo 6

Quando \det=0, ou seja a=\pm4, o posto da matriz é 2. Para verificar consistência, fazemos redução das duas primeiras equações e confrontamos com a terceira:
R_2\gets R_2-3R_1,\quad R_3\gets R_3-4R_1
leva a duas linhas proporcionais em (x,y,z) com termos independentes -10 e a-14. Para não gerar contradição, precisa
a-14=-10\quad\Longrightarrow\quad a=4.
Se a=-4, então o terceiro termo independente é -18\neq-10 e o sistema fica inconsistente (sem solução). Se a=4, as equações são consistentes e o posto é menor que 3, dando infinitas soluções.

Resposta

Item 9(h). A solução geral é
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6}) =\bigl(-2s+3t+u,\;s,\;-2u,\;t,\;-u,\;u\bigr),
com s,t,u livres.
Questão 10.
\begin{cases} \text{sem solução,} & a=-4,\\\ \text{única solução,} & a\neq\pm4,\\\ \text{infinitas soluções,} & a=4. \end{cases}çãúçãçõ

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