Questão 3.19 Explorando a teoria sobre mecânica dos fluidos, marque V para verdadeiro ou F para falso, justificando nos casos das falsas. As respostas somente serão consideradas corretas se vierem acompanhadas de justificativas adequadas.
a) ( ) Linhas de corrente e linhas de trajetória do um escoamento são sempre coincidentes.
b) ( ) O teorema do transporte de Reynolds é uma relação matemática que permite relacionar propriedades do fluido obtidas em regime laminar com as mesmas em regime turbulento.
c) ( ) Em geral a viscosidade cinemática de gases é maior que a de líquidos.
d) ( ) Em regime turbulento, a magnitude das forças viscosas supera aquelas referentes às forças inerciais, caracterizando elevados valores do número de Reynolds.
e) ( ) Um escoamento pode apresentar deformação linear e ainda assim ser irrotacional.
A respeito do campo de velocidades dado pela seguinte equação
, podese afirmar que o escoamento resultante:
f) ( ) É incompressível e irrotacional.
g) ( ) Possui vetor aceleração nulo no ponto
.
h) ( ) A respeito do campo de velocidades dado pela seguinte equação
, pode-se afirmar que o escoamento resultante possui vetor aceleração com módulo igual a 12,5 no ponto
.
a) ( ) Linhas de corrente e linhas de trajetória do um escoamento são sempre coincidentes.
b) ( ) O teorema do transporte de Reynolds é uma relação matemática que permite relacionar propriedades do fluido obtidas em regime laminar com as mesmas em regime turbulento.
c) ( ) Em geral a viscosidade cinemática de gases é maior que a de líquidos.
d) ( ) Em regime turbulento, a magnitude das forças viscosas supera aquelas referentes às forças inerciais, caracterizando elevados valores do número de Reynolds.
e) ( ) Um escoamento pode apresentar deformação linear e ainda assim ser irrotacional.
f) ( ) É incompressível e irrotacional.
g) ( ) Possui vetor aceleração nulo no ponto
h) ( ) A respeito do campo de velocidades dado pela seguinte equação
Passo 1
Vou organizar exatamente o que o enunciado pede e o que foi dado, para não nos perdermos no caminho.
- O enunciado traz oito afirmações (a) a (h). Para (a)–(e) pede marcar Verdadeiro (V) ou Falso (F) e justificar as falsas.
- Para (f)–(h) são afirmações sobre campos de velocidade fornecidos, então preciso calcular grandezas do escoamento (divergência, rotação, aceleração) e verificar as afirmações nesses pontos indicados.
As afirmações que vou analisar, em ordem, são:
- (a) Linhas de corrente e linhas de trajetória de um escoamento são sempre coincidentes.
- (b) O teorema do transporte de Reynolds relaciona propriedades do fluido em regime laminar com as mesmas em regime turbulento.
- (c) Em geral a viscosidade cinemática de gases é maior que a de líquidos.
- (d) Em regime turbulento, as forças viscosas superam as forças inerciais, caracterizando elevados valores do número de Reynolds.
- (e) Um escoamento pode apresentar deformação linear e ainda assim ser irrotacional.
Depois disso, os campos de velocidade para (f),(g) e (h) são: - Para (f) e (g):
. Em (g) o ponto é . - Para (h):
. Em (h) o ponto é .
Nos próximos passos vou explicar a teoria necessária (definições e fórmulas), aplicar aos enunciados e calcular explicitamente as quantidades pedidas. Vou justificar cuidadosamente cada resposta falsa.
Passo 2
(a) Análise conceitual: definição de linhas de corrente e linhas de trajetória; conclusão.
- Definição de linha de corrente (streamline): é a curva no espaço em um dado instante
cuja tangente em cada ponto é paralela ao vetor velocidade naquele instante. Em forma diferencial: se a coordenada da curva é (parâmetro ), então é paralelo a para o mesmo instante . - Definição de linha de trajetória (pathline): é a curva descrita por uma partícula fluida ao longo do tempo, ou seja,
tal que e . É o caminho real seguido pela partícula. - Relação entre elas: em escoamento estacionário (steady flow), isto é, quando
não depende de , a condição tangente da streamline no instante é a mesma que descreve o caminho da partícula em qualquer tempo — assim streamlines, pathlines e streaklines coincidem. Em escoamentos não-estacionários (unsteady) elas, em geral, diferem.
Conclusão para (a): a afirmação diz “sempre coincidentes”. Isso é falso, pois só coincidem em escoamento estacionário. Portanto:
- Resposta: Falsa.
Passo 3
(b) Explicação do teorema do transporte de Reynolds e avaliação da afirmação.
- O teorema do transporte de Reynolds é uma relação matemática que conecta a derivada temporal de uma propriedade extensiva (por exemplo massa, quantidade de movimento, energia) de um sistema material (conjunto de partículas) com a variação dessa propriedade em um volume de controle fixo mais os fluxos de superfície. Em forma geral, para uma propriedade por unidade de massa
e massa total , o teorema dá a relação entre a derivada do integral sobre o sistema e integrais sobre o volume de controle e a superfície do controle. - Em palavras simples: é a ferramenta que permite trocar a descrição “seguindo partículas” (sistema) por uma descrição “num volume fixo” (volume de controle) — muito útil para deduzir equações de conservação (continuidade, momento, energia) em forma de volume de controle.
- O teorema não faz distinção sobre regimes laminar ou turbulento; é uma identidade matemática válida independentemente se o escoamento for laminar ou turbulento.
Conclusão para (b): a afirmação (que relaciona propriedades em regime laminar com as mesmas em regime turbulento) é incorreta na essência. O teorema é mais geral e não é uma relação que conecta laminar/turbulento especificamente. Portanto:
- Resposta: Falsa.
Passo 4
(c) Conceitos de viscosidade dinâmica
e cinemática
; comparação entre gases e líquidos.
- Viscosidade dinâmica
(ou absoluta) mede a resistência interna ao escoamento; unidades . - Viscosidade cinemática
é definida por
onde
é a densidade do fluido. Unidades de
são
.
- Tipicamente: líquidos têm densidade muito maior que gases. As viscosidades dinâmicas
de líquidos e gases podem ter magnitudes comparáveis (por exemplo da água , do ar ), mas a densidade da água ( ) é muito maior que a do ar ( ). Assim:
- Observação:
. Logo a viscosidade cinemática do ar é, neste exemplo realista, maior que a da água.
Conclusão para (c): A afirmação “Em geral a viscosidade cinemática de gases é maior que a de líquidos” é verdadeira (por causa da menor densidade dos gases,
tende a ser maior). Portanto:
- Resposta: Verdadeira.
Passo 5
(d) Interpretação física do regime turbulento e do número de Reynolds; avaliar a afirmação.
- O número de Reynolds
é a razão entre forças inerciais e forças viscosas e, para escalas características, pode ser escrito como
onde
é velocidade característica,
comprimento característico e
viscosidade cinemática.
- No regime turbulento temos tipicamente
grande, ou seja, as forças inerciais dominam sobre as viscosas. Portanto as forças viscosas são pequenas em relação às inerciais, não superiores. - A afirmação dada diz o oposto: “Em regime turbulento, a magnitude das forças viscosas supera aquelas referentes às forças inerciais”, o que é contraditório com a definição de turbulência.
Conclusão para (d): A afirmação é falsa. Em regime turbulento as forças inerciais predominam sobre as viscosas (alto
). Portanto:
- Resposta: Falsa.
Passo 6
(e) Entender deformação linear e irrotacional; verificar possibilidade conjunta.
- Deformação linear (ou taxa de deformação) refere-se aos componentes simétricos do tensor gradiente de velocidade, que provocam alongamentos/compresões e cisalhamentos. Em notação, o tensor taxa-de-deformação é
- Rotação local (ou vorticidade, ou taxa de rotação) está associada à parte antissimétrica do gradiente de velocidade; a vorticidade é
. Um escoamento irrotacional tem . - É perfeitamente possível ter
(deformação não nula) e ao mesmo tempo . Um exemplo simples (2D) é o escoamento de extensão pura:
com
. Aqui há deformação (extensão em
, compressão em
), mas a vorticidade é
Portanto é irrotacional e tem deformação linear.
Conclusão para (e): a afirmação “Um escoamento pode apresentar deformação linear e ainda assim ser irrotacional” é verdadeira. Portanto:
- Resposta: Verdadeira.
Passo 7
Agora passo para as partes (f) e (g), trabalhando com o campo
e apresento as fórmulas que vou usar.
- Incompressibilidade: um campo é incompressível quando
. - Irrotacionalidade: um campo é irrotacional quando
. - Aceleração de uma partícula (vetor aceleração) no escoamento estacionário é o derivado material
Aqui o campo dado não depende explicitamente de
, então
e
.
- Para componentes
,
Passo 8
(f) Calcular
e
para
.
- Componentes:
. - Divergência:
Cada termo:
;
;
. Portanto
Isto não é zero em geral (apenas é zero quando
). Logo o escoamento NÃO é incompressível em geral.
- Rotacional (curl): usar fórmula
.
Calculemos cada componente:
Portanto
que é, em geral, não nulo. Logo o campo NÃO é irrotacional.
Conclusão para (f): a afirmação “É incompressível e irrotacional” é falsa (divergência
em geral e rotação
). Portanto:
- Resposta: Falsa.]
Passo 9
(g) Calcular o vetor aceleração no ponto
para
.
- Recordando:
porque o campo não depende de . - Componentes novamente:
.
Calculemos componente a componente:
-
.
Masé constante espacialmente, então . Portanto
-
.
-
.
Logo
-
.
-
.
Logo
Agora avalie em
:
-
. -
. -
.
Portanto
no ponto indicado; claramente não é nulo.
Conclusão para (g): a afirmação "possui vetor aceleração nulo no ponto
" é falsa. O vetor aceleração no ponto é
. Portanto:
- Resposta: Falsa.
Passo 10
(h) Para o campo bidimensional
, calcular a aceleração no ponto
e comparar com o valor pedido.
- Componentes:
. Campo independente do tempo, então . - Calculemos componentes da aceleração:
-
.
-
.
Logo
-
.
-
.
Logo
Agora avalie em
:
-
. -
.
Assim o vetor aceleração é
. O módulo é
A afirmação dada em (h) dizia que o módulo da aceleração no ponto é
. Isso não bate com o cálculo correto, que dá
. Portanto (h) é falsa.
Conclusão para (h): a afirmação é falsa; o módulo correto da aceleração no ponto
é
, não
.
Resposta
a) F
b) F
c) V
d) F
e) V
f) F
g) F
h) F
b) F
c) V
d) F
e) V
f) F
g) F
h) F