Questão 3.19 Explorando a teoria sobre mecânica dos fluidos, marque V para verdadeiro ou F para falso, justificando nos casos das falsas. As respostas somente serão consideradas corretas se vierem acompanhadas de justificativas adequadas.
a) ( ) Linhas de corrente e linhas de trajetória do um escoamento são sempre coincidentes.
b) ( ) O teorema do transporte de Reynolds é uma relação matemática que permite relacionar propriedades do fluido obtidas em regime laminar com as mesmas em regime turbulento.
c) ( ) Em geral a viscosidade cinemática de gases é maior que a de líquidos.
d) ( ) Em regime turbulento, a magnitude das forças viscosas supera aquelas referentes às forças inerciais, caracterizando elevados valores do número de Reynolds.
e) ( ) Um escoamento pode apresentar deformação linear e ainda assim ser irrotacional.
A respeito do campo de velocidades dado pela seguinte equação V=10 i+\left(x^{2}+y^{2}\right) j-2 x y k, podese afirmar que o escoamento resultante:
f) ( ) É incompressível e irrotacional.
g) ( ) Possui vetor aceleração nulo no ponto (x, y)=(1 ;-1 ; 0).
h) ( ) A respeito do campo de velocidades dado pela seguinte equação V=5 x i+\left(x^{2}+y^{2}\right) j, pode-se afirmar que o escoamento resultante possui vetor aceleração com módulo igual a 12,5 no ponto (x, y)= (1 ;-1).

Passo 1

Vou organizar exatamente o que o enunciado pede e o que foi dado, para não nos perdermos no caminho.
  • O enunciado traz oito afirmações (a) a (h). Para (a)–(e) pede marcar Verdadeiro (V) ou Falso (F) e justificar as falsas.
  • Para (f)–(h) são afirmações sobre campos de velocidade fornecidos, então preciso calcular grandezas do escoamento (divergência, rotação, aceleração) e verificar as afirmações nesses pontos indicados.
As afirmações que vou analisar, em ordem, são:
  • (a) Linhas de corrente e linhas de trajetória de um escoamento são sempre coincidentes.
  • (b) O teorema do transporte de Reynolds relaciona propriedades do fluido em regime laminar com as mesmas em regime turbulento.
  • (c) Em geral a viscosidade cinemática de gases é maior que a de líquidos.
  • (d) Em regime turbulento, as forças viscosas superam as forças inerciais, caracterizando elevados valores do número de Reynolds.
  • (e) Um escoamento pode apresentar deformação linear e ainda assim ser irrotacional.
    Depois disso, os campos de velocidade para (f),(g) e (h) são:
  • Para (f) e (g): \mathbf{V}=10\,\mathbf{i}+\left(x^{2}+y^{2}\right)\mathbf{j}-2xy\,\mathbf{k}. Em (g) o ponto é (x,y,z)=(1,-1,0).
  • Para (h): \mathbf{V}=5x\,\mathbf{i}+\left(x^{2}+y^{2}\right)\mathbf{j}. Em (h) o ponto é (x,y)=(1,-1).
Nos próximos passos vou explicar a teoria necessária (definições e fórmulas), aplicar aos enunciados e calcular explicitamente as quantidades pedidas. Vou justificar cuidadosamente cada resposta falsa.

Passo 2

(a) Análise conceitual: definição de linhas de corrente e linhas de trajetória; conclusão.
  • Definição de linha de corrente (streamline): é a curva no espaço em um dado instante t cuja tangente em cada ponto é paralela ao vetor velocidade naquele instante. Em forma diferencial: se a coordenada da curva é \mathbf{r}(s) (parâmetro s), então \dfrac{d\mathbf{r}}{ds} é paralelo a \mathbf{V}(\mathbf{r},t) para o mesmo instante t.
  • Definição de linha de trajetória (pathline): é a curva descrita por uma partícula fluida ao longo do tempo, ou seja, \mathbf{r}_p(t) tal que \dfrac{d\mathbf{r}_p}{dt}=\mathbf{V}(\mathbf{r}_p(t),t) e \mathbf{r}_p(t_0)=\mathbf{r}_0. É o caminho real seguido pela partícula.
  • Relação entre elas: em escoamento estacionário (steady flow), isto é, quando \mathbf{V}(\mathbf{x},t) não depende de t, a condição tangente da streamline no instante t é a mesma que descreve o caminho da partícula em qualquer tempo — assim streamlines, pathlines e streaklines coincidem. Em escoamentos não-estacionários (unsteady) elas, em geral, diferem.
Conclusão para (a): a afirmação diz “sempre coincidentes”. Isso é falso, pois só coincidem em escoamento estacionário. Portanto:
  • Resposta: Falsa.

Passo 3

(b) Explicação do teorema do transporte de Reynolds e avaliação da afirmação.
  • O teorema do transporte de Reynolds é uma relação matemática que conecta a derivada temporal de uma propriedade extensiva (por exemplo massa, quantidade de movimento, energia) de um sistema material (conjunto de partículas) com a variação dessa propriedade em um volume de controle fixo mais os fluxos de superfície. Em forma geral, para uma propriedade por unidade de massa b e massa total m, o teorema dá a relação entre a derivada do integral sobre o sistema e integrais sobre o volume de controle e a superfície do controle.
  • Em palavras simples: é a ferramenta que permite trocar a descrição “seguindo partículas” (sistema) por uma descrição “num volume fixo” (volume de controle) — muito útil para deduzir equações de conservação (continuidade, momento, energia) em forma de volume de controle.
  • O teorema não faz distinção sobre regimes laminar ou turbulento; é uma identidade matemática válida independentemente se o escoamento for laminar ou turbulento.
Conclusão para (b): a afirmação (que relaciona propriedades em regime laminar com as mesmas em regime turbulento) é incorreta na essência. O teorema é mais geral e não é uma relação que conecta laminar/turbulento especificamente. Portanto:
  • Resposta: Falsa.

Passo 4

(c) Conceitos de viscosidade dinâmica \mu e cinemática \nu; comparação entre gases e líquidos.
  • Viscosidade dinâmica \mu (ou absoluta) mede a resistência interna ao escoamento; unidades \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Viscosidade cinemática \nu é definida por
\nu=\frac{\mu}{\rho},
onde \rho é a densidade do fluido. Unidades de \nu são \mathrm{m^{2}/s}.
  • Tipicamente: líquidos têm densidade muito maior que gases. As viscosidades dinâmicas \mu de líquidos e gases podem ter magnitudes comparáveis (por exemplo \mu da água \sim10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, \mu do ar \sim1{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}), mas a densidade da água ( \sim1000\\ \mathrm{kg/m^3}) é muito maior que a do ar ( \sim1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}). Assim:
\nu_{\text{água}}\approx\frac{10^{-3}}{1000}=10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}, \qquad \nu_{\text{ar}}\approx\frac{1{,}8\times10^{-5}}{1{,}2}\approx1{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.á
  • Observação: 1{,}5\times10^{-5} > 10^{-6}. Logo a viscosidade cinemática do ar é, neste exemplo realista, maior que a da água.
Conclusão para (c): A afirmação “Em geral a viscosidade cinemática de gases é maior que a de líquidos” é verdadeira (por causa da menor densidade dos gases, \nu=\mu/\rho tende a ser maior). Portanto:
  • Resposta: Verdadeira.

Passo 5

(d) Interpretação física do regime turbulento e do número de Reynolds; avaliar a afirmação.
  • O número de Reynolds Re é a razão entre forças inerciais e forças viscosas e, para escalas características, pode ser escrito como
Re=\frac{\text{forças inerciais}}{\text{forças viscosas}}\sim\frac{U L \rho}{\mu}=\frac{U L}{\nu},çç
onde U é velocidade característica, L comprimento característico e \nu viscosidade cinemática.
  • No regime turbulento temos tipicamente Re grande, ou seja, as forças inerciais dominam sobre as viscosas. Portanto as forças viscosas são pequenas em relação às inerciais, não superiores.
  • A afirmação dada diz o oposto: “Em regime turbulento, a magnitude das forças viscosas supera aquelas referentes às forças inerciais”, o que é contraditório com a definição de turbulência.
Conclusão para (d): A afirmação é falsa. Em regime turbulento as forças inerciais predominam sobre as viscosas (alto Re). Portanto:
  • Resposta: Falsa.

Passo 6

(e) Entender deformação linear e irrotacional; verificar possibilidade conjunta.
  • Deformação linear (ou taxa de deformação) refere-se aos componentes simétricos do tensor gradiente de velocidade, que provocam alongamentos/compresões e cisalhamentos. Em notação, o tensor taxa-de-deformação é
\mathbf{D}=\frac{1}{2}\left(\nabla\mathbf{V}+(\nabla\mathbf{V})^{T}\right).
  • Rotação local (ou vorticidade, ou taxa de rotação) está associada à parte antissimétrica do gradiente de velocidade; a vorticidade é \boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{V}. Um escoamento irrotacional tem \boldsymbol{\omega}=\mathbf{0}.
  • É perfeitamente possível ter \mathbf{D}\neq\mathbf{0} (deformação não nula) e ao mesmo tempo \boldsymbol{\omega}=\mathbf{0}. Um exemplo simples (2D) é o escoamento de extensão pura:
\mathbf{V}=(k x)\,\mathbf{i}+(-k y)\,\mathbf{j},
com k\neq0. Aqui há deformação (extensão em x, compressão em y), mas a vorticidade é
\omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=0-0=0.
Portanto é irrotacional e tem deformação linear.
Conclusão para (e): a afirmação “Um escoamento pode apresentar deformação linear e ainda assim ser irrotacional” é verdadeira. Portanto:
  • Resposta: Verdadeira.

Passo 7

Agora passo para as partes (f) e (g), trabalhando com o campo
\mathbf{V}=10\,\mathbf{i}+\left(x^{2}+y^{2}\right)\mathbf{j}-2xy\,\mathbf{k},
e apresento as fórmulas que vou usar.
  • Incompressibilidade: um campo é incompressível quando \nabla\cdot\mathbf{V}=0.
  • Irrotacionalidade: um campo é irrotacional quando \nabla\times\mathbf{V}=\mathbf{0}.
  • Aceleração de uma partícula (vetor aceleração) no escoamento estacionário é o derivado material
\mathbf{a}=\frac{D\mathbf{V}}{Dt}=\frac{\partial\mathbf{V}}{\partial t}+(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}.
Aqui o campo dado não depende explicitamente de t, então \partial\mathbf{V}/\partial t=\mathbf{0} e \mathbf{a}=(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}.
  • Para componentes \mathbf{V}=(u,v,w),
(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}=\big(u\partial_x+v\partial_y+w\partial_z\big)\,(u,v,w).

Passo 8

(f) Calcular \nabla\cdot\mathbf{V} e \nabla\times\mathbf{V} para \mathbf{V}=10\,\mathbf{i}+\left(x^{2}+y^{2}\right)\mathbf{j}-2xy\,\mathbf{k}.
  • Componentes: u=10,\; v=x^{2}+y^{2},\; w=-2xy.
  • Divergência:
\nabla\cdot\mathbf{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z} =\frac{\partial(10)}{\partial x}+\frac{\partial(x^{2}+y^{2})}{\partial y}+\frac{\partial(-2xy)}{\partial z}.
Cada termo: \partial(10)/\partial x=0; \partial(x^{2}+y^{2})/\partial y=2y; \partial(-2xy)/\partial z=0. Portanto
\nabla\cdot\mathbf{V}=2y.
Isto não é zero em geral (apenas é zero quando y=0). Logo o escoamento NÃO é incompressível em geral.
  • Rotacional (curl): usar fórmula \nabla\times\mathbf{V}=\big(\partial_y w-\partial_z v,\\ \partial_z u-\partial_x w,\\ \partial_x v-\partial_y u\big).
    Calculemos cada componente:
\begin{aligned} (\nabla\times\mathbf{V})_x&=\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}=\frac{\partial(-2xy)}{\partial y}-0=-2x,\\[4pt] (\nabla\times\mathbf{V})_y&=\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}=0-\frac{\partial(-2xy)}{\partial x}=2y,\\[4pt] (\nabla\times\mathbf{V})_z&=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial(x^{2}+y^{2})}{\partial x}-0=2x. \end{aligned}
Portanto
\nabla\times\mathbf{V}=(-2x,\;2y,\;2x),
que é, em geral, não nulo. Logo o campo NÃO é irrotacional.
Conclusão para (f): a afirmação “É incompressível e irrotacional” é falsa (divergência =2y\neq0 em geral e rotação \neq0). Portanto:
  • Resposta: Falsa.]

Passo 9

(g) Calcular o vetor aceleração no ponto (x,y,z)=(1,-1,0) para \mathbf{V}=10\,\mathbf{i}+(x^{2}+y^{2})\mathbf{j}-2xy\,\mathbf{k}.
  • Recordando: \mathbf{a}=(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V} porque o campo não depende de t.
  • Componentes novamente: u=10,\; v=x^{2}+y^{2},\; w=-2xy.
Calculemos componente a componente:
  1. a_x = u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}.
    Mas u=10 é constante espacialmente, então \partial u/\partial x=\partial u/\partial y=\partial u/\partial z=0. Portanto
a_x=0.
  1. a_y = u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}.
  • \partial v/\partial x=2x,\\ \partial v/\partial y=2y,\\ \partial v/\partial z=0.
    Logo
a_y=10\cdot(2x)+(x^{2}+y^{2})\cdot(2y)+(-2xy)\cdot 0=20x+2y(x^{2}+y^{2}).
  1. a_z = u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}.
  • \partial w/\partial x=-2y,\\ \partial w/\partial y=-2x,\\ \partial w/\partial z=0.
    Logo
a_z=10\cdot(-2y)+(x^{2}+y^{2})\cdot(-2x)+(-2xy)\cdot 0=-20y-2x(x^{2}+y^{2}).
Agora avalie em (x,y)=(1,-1):
  • a_x=0.
  • a_y=20(1)+2(-1)(1^{2}+(-1)^{2})=20-2\cdot2=20-4=16.
  • a_z=-20(-1)-2(1)(1+1)=20-4=16.
Portanto \mathbf{a}=(0,16,16) no ponto indicado; claramente não é nulo.
Conclusão para (g): a afirmação "possui vetor aceleração nulo no ponto (1,-1,0)" é falsa. O vetor aceleração no ponto é (0,16,16)\neq\mathbf{0}. Portanto:
  • Resposta: Falsa.

Passo 10

(h) Para o campo bidimensional \mathbf{V}=5x\,\mathbf{i}+(x^{2}+y^{2})\,\mathbf{j}, calcular a aceleração no ponto (1,-1) e comparar com o valor pedido.
  • Componentes: u=5x,\; v=x^{2}+y^{2}. Campo independente do tempo, então \mathbf{a}=(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}.
  • Calculemos componentes da aceleração:
  1. a_x = u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}.
  • \partial u/\partial x=5,\\ \partial u/\partial y=0.
    Logo
a_x= (5x)\cdot 5 + (x^{2}+y^{2})\cdot 0 =25x.
  1. a_y = u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}.
  • \partial v/\partial x=2x,\\ \partial v/\partial y=2y.
    Logo
a_y=(5x)\cdot(2x)+(x^{2}+y^{2})\cdot(2y)=10x^{2}+2y(x^{2}+y^{2}).
Agora avalie em (x,y)=(1,-1):
  • a_x=25\cdot1=25.
  • a_y=10\cdot1^{2}+2(-1)(1+1)=10-4=6.
Assim o vetor aceleração é \mathbf{a}=(25,6). O módulo é
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{25^{2}+6^{2}}=\sqrt{625+36}=\sqrt{661}\approx25{,}71.
A afirmação dada em (h) dizia que o módulo da aceleração no ponto é 12{,}5. Isso não bate com o cálculo correto, que dá \sqrt{661}\approx25{,}71. Portanto (h) é falsa.
Conclusão para (h): a afirmação é falsa; o módulo correto da aceleração no ponto (1,-1) é \sqrt{661}\approx25{,}71, não 12{,}5.

Resposta

a) F
b) F
c) V
d) F
e) V
f) F
g) F
h) F

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