Questão 3.14 Em muitas aplicações da mecânica dos fluidos os escoamentos são mais facilmente entendidos quando expressos em termos de funções auxiliares, tais como a Função Corrente (
) e a Função Potencial (
), as quais, em geometria cartesiana e para um escoamento incompressível em duas dimensões, onde
, são dadas por:
Os componentes do vetor velocidade de um escoamento bidimensional são:
e
). Escreva a equação da função corrente e da função potencial para este escoamento. Mostre que este escoamento é incompressível e irrotacional.
Passo 1
O enunciado fornece os componentes da velocidade de um escoamento bidimensional. As informações dadas (com uma pequena observação sobre ambiguidade no enunciado) são:
- Componente
: . Ou seja, . - Componente
: o texto recebido está ambíguo: aparece como " )". Isso não é claro. Para que o problema faça sentido com o pedido de mostrar que o escoamento é incompressível e irrotacional, a escolha natural (e provavelmente a intenção) é . Vou adotar . Se a intenção fosse outra, a demonstração muda — aqui prossigo com .
O que o enunciado pede:
- Escrever a equação da função corrente
para este escoamento, lembrando que vale . - Escrever a equação da função potencial
para este escoamento, lembrando que vale . - Mostrar que o escoamento é incompressível e irrotacional, ou seja:
- incompressível:
; - irrotacional:
.
- incompressível:
Passo 2
Rápida revisão (fórmulas e ideias que vou usar; explicação didática)
- Função corrente
: é uma função tal que, para um escoamento bidimensional, Intuição: curvas de nível de são linhas de corrente (trajetórias instantâneas do fluido). Se existe globalmente, o campo de velocidades é automaticamente divergência-nula (incompressível). - Função potencial
: é uma função tal que Intuição: quando existe o campo é gradiente de e, se for um campo conservativo, tem rotação nula (irrotacional). - Incompressibilidade: Para um escoamento em 2D, a condição é
- Irrotacionalidade (vorticidade zero): A componente ortogonal ao plano do curl (vorticidade escalar) é
Irrotacional significa .
Passo 3
Começo encontrando a função corrente
usando as relações:
Substituo o
dado (
) na primeira igualdade e integro em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Agora uso a segunda relação para determinar
. Tem-se
Mas
foi adotado como
. Portanto
Integro em
:
onde
é constante. Logo a função corrente é
Comentário didático: o procedimento foi integrar
em
(tratando
como constante) e depois ajustar a função de integração com a condição dada por
. Esse é o método padrão para achar
.
Passo 4
Agora encontro a função potencial
usando:
Substituo
e integro em
:
onde
é função arbitrária de
.
Uso a segunda condição
. Calculando:
Como
, igualo:
Logo
, constante. Portanto a função potencial é
Comentário didático: aqui integramos
em
e usamos
para fixar a função de integração
. Se o campo for gradiente (irrotacional), isso sempre dá consistência.
Passo 5
Mostro agora que o escoamento é incompressível:
- Calculo
e : - Soma:
Portanto o escoamento satisfaz a condição de incompressibilidade. Explicando em palavras: nem
nem
têm variação cruzada que gere divergência; o fluido não converge nem diverge localmente.
Passo 6
Mostro que o escoamento é irrotacional:
- Calculo a componente
da vorticidade: - Derivadas:
- Subtraindo:
Portanto a vorticidade é nula e o escoamento é irrotacional.
Comentário didático: irrotacional significa que não há rotação local do fluido em torno de um ponto (a vorticidade é zero). Para campos 2D, basta checar a diferença das derivadas cruzadas como fizemos.
Passo 7
Verificação de consistência entre
e
:
- Para escoamentos que são simultaneamente incompressíveis e irrotacionais em 2D,
e são funções harmônicas e estão relacionadas pela condição de Cauchy–Riemann (basicamente elas formam um par conjugado de funções harmônicas). Aqui, diferenciar e dá de volta os componentes e , confirmando que as formas encontradas são consistentes:
Tudo confere.
Resposta
Escoamento incompressível:
Escoamento irrotacional: