Questão 3.14 Em muitas aplicações da mecânica dos fluidos os escoamentos são mais facilmente entendidos quando expressos em termos de funções auxiliares, tais como a Função Corrente ( \psi ) e a Função Potencial ( \varphi ), as quais, em geometria cartesiana e para um escoamento incompressível em duas dimensões, onde \mathrm{V}=\mathrm{V}(\mathrm{u}, \mathrm{v}), são dadas por:
u=\frac{\partial \psi}{\partial y}=\frac{\partial \varphi}{\partial x} ; v=-\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial \varphi}{\partial y}
Os componentes do vetor velocidade de um escoamento bidimensional são: u=2 \times y e v=\left(x^{2}\right. y^{2} ). Escreva a equação da função corrente e da função potencial para este escoamento. Mostre que este escoamento é incompressível e irrotacional.

Passo 1

O enunciado fornece os componentes da velocidade de um escoamento bidimensional. As informações dadas (com uma pequena observação sobre ambiguidade no enunciado) são:
  • Componente u: \;u=2\times y. Ou seja, \;u=2y.
  • Componente v: o texto recebido está ambíguo: aparece como " v=\left(x^{2}\right. y^{2} )". Isso não é claro. Para que o problema faça sentido com o pedido de mostrar que o escoamento é incompressível e irrotacional, a escolha natural (e provavelmente a intenção) é \;v=2x. Vou adotar \;v=2x. Se a intenção fosse outra, a demonstração muda — aqui prossigo com \;u=2y,\;v=2x.
O que o enunciado pede:
  1. Escrever a equação da função corrente \psi para este escoamento, lembrando que vale \;u=\dfrac{\partial\psi}{\partial y},\;v=-\dfrac{\partial\psi}{\partial x}.
  2. Escrever a equação da função potencial \varphi para este escoamento, lembrando que vale \;u=\dfrac{\partial\varphi}{\partial x},\;v=\dfrac{\partial\varphi}{\partial y}.
  3. Mostrar que o escoamento é incompressível e irrotacional, ou seja:
    • incompressível: \;\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial y}=0;
    • irrotacional: \;\dfrac{\partial v}{\partial x}-\dfrac{\partial u}{\partial y}=0.

Passo 2

Rápida revisão (fórmulas e ideias que vou usar; explicação didática)
  • Função corrente \psi(x,y): é uma função tal que, para um escoamento bidimensional, u=\frac{\partial\psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial\psi}{\partial x}.Intuição: curvas de nível de \psi são linhas de corrente (trajetórias instantâneas do fluido). Se existe \psi globalmente, o campo de velocidades é automaticamente divergência-nula (incompressível).
  • Função potencial \varphi(x,y): é uma função tal que u=\frac{\partial\varphi}{\partial x},\qquad v=\frac{\partial\varphi}{\partial y}.Intuição: quando existe \varphi o campo é gradiente de \varphi e, se for um campo conservativo, tem rotação nula (irrotacional).
  • Incompressibilidade: Para um escoamento em 2D, a condição é \nabla\cdot\mathbf{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
  • Irrotacionalidade (vorticidade zero): A componente ortogonal ao plano do curl (vorticidade escalar) é \omega_z=\left(\nabla\times\mathbf{V}\right)_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}.Irrotacional significa \omega_z=0.

Passo 3

Começo encontrando a função corrente \psi usando as relações:
u=\frac{\partial\psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial\psi}{\partial x}.
Substituo o u dado ( u=2y) na primeira igualdade e integro em relação a y:
\frac{\partial\psi}{\partial y}=2y \quad\Longrightarrow\quad \psi(x,y)=\int 2y\,dy = y^{2} + f(x),
onde f(x) é uma função arbitrária de x (constante de integração em relação a y).
Agora uso a segunda relação para determinar f(x). Tem-se
v=-\frac{\partial\psi}{\partial x} = -\frac{d}{dx}\big(f(x)\big) = -f'(x).
Mas v foi adotado como v=2x. Portanto
-f'(x)=2x \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=-2x.
Integro em x:
f(x)=\int -2x\,dx = -x^{2} + C,
onde C é constante. Logo a função corrente é
\psi(x,y)=y^{2}-x^{2}+C.
Comentário didático: o procedimento foi integrar u em y (tratando x como constante) e depois ajustar a função de integração com a condição dada por v. Esse é o método padrão para achar \psi.

Passo 4

Agora encontro a função potencial \varphi usando:
u=\frac{\partial\varphi}{\partial x},\qquad v=\frac{\partial\varphi}{\partial y}.
Substituo u=2y e integro em x:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=2y \quad\Longrightarrow\quad \varphi(x,y)=\int 2y\,dx = 2xy + g(y),
onde g(y) é função arbitrária de y.
Uso a segunda condição v=\dfrac{\partial\varphi}{\partial y}. Calculando:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=2x + g'(y).
Como v=2x, igualo:
2x + g'(y)=2x \quad\Longrightarrow\quad g'(y)=0.
Logo g(y)=C', constante. Portanto a função potencial é
\varphi(x,y)=2xy + C'.
Comentário didático: aqui integramos u em x e usamos v para fixar a função de integração g(y). Se o campo for gradiente (irrotacional), isso sempre dá consistência.

Passo 5

Mostro agora que o escoamento é incompressível:
  • Calculo \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial v}{\partial y}: \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2y)=0, \qquad \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x)=0.
  • Soma: \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0+0=0.
Portanto o escoamento satisfaz a condição de incompressibilidade. Explicando em palavras: nem u nem v têm variação cruzada que gere divergência; o fluido não converge nem diverge localmente.

Passo 6

Mostro que o escoamento é irrotacional:
  • Calculo a componente z da vorticidade: \omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}.
  • Derivadas: \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2x)=2, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2y)=2.
  • Subtraindo: \omega_z=2-2=0.
Portanto a vorticidade é nula e o escoamento é irrotacional.
Comentário didático: irrotacional significa que não há rotação local do fluido em torno de um ponto (a vorticidade é zero). Para campos 2D, basta checar a diferença das derivadas cruzadas como fizemos.

Passo 7

Verificação de consistência entre \psi e \varphi:
  • Para escoamentos que são simultaneamente incompressíveis e irrotacionais em 2D, \psi e \varphi são funções harmônicas e estão relacionadas pela condição de Cauchy–Riemann (basicamente elas formam um par conjugado de funções harmônicas). Aqui, diferenciar \psi e \varphi dá de volta os componentes u e v, confirmando que as formas encontradas são consistentes: \frac{\partial\psi}{\partial y}=2y=u,\quad -\frac{\partial\psi}{\partial x}= -(-2x)=2x=v,
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=2y=u,\quad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=2x=v.
Tudo confere.

Resposta

\psi(x,y)=y^{2}-x^{2}+C
\varphi(x,y)=2xy+C'
Escoamento incompressível: \dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial y}=0
Escoamento irrotacional: \dfrac{\partial v}{\partial x}-\dfrac{\partial u}{\partial y}=0

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