Questão 3.14 Em muitas aplicações da mecânica dos fluidos os escoamentos são mais facilmente entendidos quando expressos em termos de funções auxiliares, tais como a Função Corrente (
) e a Função Potencial (
), as quais, em geometria cartesiana e para um escoamento incompressível em duas dimensões, onde
, são dadas por:
Para um dado escoamento a função corrente bidimensional é dada por:
- bx. Determine, se possível, os valores de a e b para que o escoamento seja irrotacional e a função potencial para este escoamento.
Passo 1
O enunciado nos dá a função corrente bidimensional
e pede duas coisas:
- Encontrar, se possível, os valores de
e para que o escoamento seja irrotacional. - Determinar a função potencial
correspondente a esse escoamento (quando for possível).
Informações relevantes fornecidas:
- A função corrente
está dada explicitamente por . - As relações entre a função corrente
, a função potencial e as componentes de velocidade são:
Passo 2
Calcular as componentes de velocidade
e
a partir de
. Vou usar as fórmulas dadas e derivar
parcialmentes.
Derivando
em relação a
:
Logo
Derivando
em relação a
:
Logo
Resumo: as velocidades são
Explicação rápida (didática): a função corrente é construída de forma que linhas de corrente sejam curvas de
constante; as fórmulas acima vêm da definição de
para escoamentos bidimensionais incompressíveis.
Passo 3
Explicar a condição de irrotacionalidade e como aplicá-la:
Para um escoamento bidimensional em
a vorticidade (componente perpendicular ao plano) é
Um escoamento é irrotacional quando
em toda a região considerada.
Vamos aplicar essa fórmula usando as expressões de
e
obtidas.
Passo 4
Calcular
para o nosso escoamento:
Derivada de
em relação a
:
pois
é constante (independe de
e
).
Derivada de
em relação a
:
Logo
Impor irrotacionalidade (
) dá:
Passo 5
Interpretar o resultado para
e escrever as velocidades finais quando
:
Com
a função corrente fica
As componentes de velocidade tornam-se
Ou seja, o escoamento é uniforme: velocidade nula na direção
e velocidade constante
na direção
. Isso satisfaz a condição de incompressibilidade automaticamente (divergência nula) para qualquer
.
Conclusão sobre
: não foi imposta nenhuma condição extra sobre
pela irrotacionalidade, então
pode ser qualquer número real (qualquer constante).
Passo 6
Encontrar a função potencial
correspondente quando
:
Lembrando as relações:
Com
e
temos
onde
é alguma função de
apenas.
Em seguida, da segunda relação:
onde
é constante arbitrária.
Portanto uma função potencial é
com
constante real arbitrária. (Pode escolher
se quiser uma potencial simples.)
Verificação rápida:
e
, consistente. Também as relações com
(conjugadas de Cauchy–Riemann) ficam satisfeitas:
e
.