Questão 3.14 Em muitas aplicações da mecânica dos fluidos os escoamentos são mais facilmente entendidos quando expressos em termos de funções auxiliares, tais como a Função Corrente ( \psi ) e a Função Potencial ( \varphi ), as quais, em geometria cartesiana e para um escoamento incompressível em duas dimensões, onde \mathrm{V}=\mathrm{V}(\mathrm{u}, \mathrm{v}), são dadas por:
u=\frac{\partial \psi}{\partial y}=\frac{\partial \varphi}{\partial x} ; v=-\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial \varphi}{\partial y}
Para um dado escoamento a função corrente bidimensional é dada por: \psi=\mathrm{a} \mathrm{y}^{2} - bx. Determine, se possível, os valores de a e b para que o escoamento seja irrotacional e a função potencial para este escoamento.

Passo 1

O enunciado nos dá a função corrente bidimensional
\psi = a\,y^{2} - b x
e pede duas coisas:
  • Encontrar, se possível, os valores de a e b para que o escoamento seja irrotacional.
  • Determinar a função potencial \varphi correspondente a esse escoamento (quando for possível).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função corrente \psi está dada explicitamente por \psi = a y^{2} - b x.
  • As relações entre a função corrente \psi, a função potencial \varphi e as componentes de velocidade são:
u = \frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \qquad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{\partial \varphi}{\partial y}.

Passo 2

Calcular as componentes de velocidade u e v a partir de \psi. Vou usar as fórmulas dadas e derivar \psi parcialmentes.
Derivando \psi em relação a y:
\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(a y^{2} - b x\bigr) = 2a y.
Logo
u = 2a y.
Derivando \psi em relação a x:
\frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(a y^{2} - b x\bigr) = -b.
Logo
v = -\frac{\partial \psi}{\partial x} = -(-b) = b.
Resumo: as velocidades são
u(x,y) = 2a y,\qquad v(x,y)=b.
Explicação rápida (didática): a função corrente é construída de forma que linhas de corrente sejam curvas de \psi= constante; as fórmulas acima vêm da definição de \psi para escoamentos bidimensionais incompressíveis.

Passo 3

Explicar a condição de irrotacionalidade e como aplicá-la:
Para um escoamento bidimensional em x,y a vorticidade (componente perpendicular ao plano) é
\omega_{z} = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}.
Um escoamento é irrotacional quando \omega_{z} = 0 em toda a região considerada.
Vamos aplicar essa fórmula usando as expressões de u e v obtidas.

Passo 4

Calcular \omega_{z} para o nosso escoamento:
Derivada de v=b em relação a x:
\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(b) = 0,
pois b é constante (independe de x e y).
Derivada de u=2a y em relação a y:
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2a y) = 2a.
Logo
\omega_{z} = 0 - 2a = -2a.
Impor irrotacionalidade ( \omega_{z}=0) dá:
-2a = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 0.

Passo 5

Interpretar o resultado para b e escrever as velocidades finais quando a=0:
Com a=0 a função corrente fica
\psi = - b x.
As componentes de velocidade tornam-se
u = 2a y = 0,\qquad v = b.
Ou seja, o escoamento é uniforme: velocidade nula na direção x e velocidade constante b na direção y. Isso satisfaz a condição de incompressibilidade automaticamente (divergência nula) para qualquer b.
Conclusão sobre b: não foi imposta nenhuma condição extra sobre b pela irrotacionalidade, então b pode ser qualquer número real (qualquer constante).

Passo 6

Encontrar a função potencial \varphi correspondente quando a=0:
Lembrando as relações:
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = u,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = v.
Com u=0 e v=b temos
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 0 \quad\Rightarrow\quad \varphi = f(y),
onde f é alguma função de y apenas.
Em seguida, da segunda relação:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = f'(y) = b \quad\Rightarrow\quad f(y) = b y + C,
onde C é constante arbitrária.
Portanto uma função potencial é
\varphi(x,y) = b y + C,
com C constante real arbitrária. (Pode escolher C=0 se quiser uma potencial simples.)
Verificação rápida: \partial \varphi/\partial x = 0 = u e \partial \varphi/\partial y = b = v, consistente. Também as relações com \psi (conjugadas de Cauchy–Riemann) ficam satisfeitas: \partial \varphi/\partial x = \partial \psi/\partial y = 0 e \partial \varphi/\partial y = -\partial \psi/\partial x = b.

Resposta

a=0
b pode ser qualquer número real (qualquer constante)
\displaystyle \varphi(x,y)=b\,y+C, com C constante real.

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