Questão 19. O tempo médio, por operário, para executar uma tarefa, tem sido 100 minutos. Introduziu-se uma modificação para diminuir este tempo, e, após certo período, sorteou-se uma amostra de 16 operários, medindo-se o tempo de execução gasto por cada um. O tempo médio da amostra foi de 85 minutos, e o desvio padrão foi 12 minutos. Este resultado evidencia uma melhoria no tempo gasto para realizar uma tarefa? Apresente as conclusões aos níveis de 5 \% e 1% de probabilidade.

Passo 1

O enunciado trata de um teste de hipótese para a média do tempo de execução de uma tarefa. Antes da modificação, a média era de 100 minutos. Após a modificação, coletou-se uma amostra de n=16 operários, com média amostral \bar x=85 minutos e desvio-padrão amostral s=12 minutos. Como n é pequeno e a variância populacional é desconhecida, usaremos o teste t unilateral à esquerda.

Passo 2

Definimos as hipóteses:
H_0:\mu = 100
H_1:\mu < 100
Queremos concluir se há evidência de que a média real caiu abaixo de 100. Avaliaremos nos níveis de significância \alpha=0{,}05 e \alpha=0{,}01.

Passo 3

Calculamos a estatística de teste
t = \frac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{85 - 100}{12/\sqrt{16}} = \frac{-15}{12/4} = \frac{-15}{3} = -5.

Passo 4

Os graus de liberdade são \nu = n - 1 = 15. Os limites críticos para um teste unilateral à esquerda são:
para \alpha=0{,}05:
t_{(0{,}05,15)} \approx -1{,}753
para \alpha=0{,}01:
t_{(0{,}01,15)} \approx -2{,}602.

Passo 5

Comparamos t_{\text{calc}}=-5 com os valores críticos. Como
-5 < -2{,}602 < -1{,}753,
fica t_{\text{calc}} bem abaixo dos limites críticos em ambos os níveis. Logo rejeitamos H_0 tanto para \alpha=0{,}05 quanto para \alpha=0{,}01.

Resposta

Rejeita-se H_0 em ambos os níveis de significância, ou seja, existe evidência estatística ao nível de 5\% e de 1\% de que o tempo médio diminuiu após a modificação.

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