Questão 17. Uma empresa produz saquinhos de salgadinhos de 500 g . Para verificar se a máquina de empacotar está trabalhando corretamente o controle de qualidade tomou uma amostra de 40 saquinhos, que apresentou uma média amostral de 475 g e e desvio padrão de 30 g . Os dados obtidos proporcionaram evidências suficientes para concluir que a máquina de empacotar não está trabalhando adequadamente (isto é, a máquina empacota com pesos diferentes do proposto)? Realize um teste de hipótese \operatorname{com} \alpha=0,01. Após o teste o que podemos concluir?

Passo 1

O enunciado descreve uma máquina que deveria empacotar saquinhos com peso médio de 500 g. Foi coletada uma amostra de n=40 saquinhos, com média amostral \bar{x}=475 g e desvio padrão amostral s=30 g. O conteúdo é um teste de hipóteses para a média de uma população com variância desconhecida, usando o teste t de Student ao nível de significância \alpha=0,01.

Passo 2

Formulamos as hipóteses nula e alternativa bidirecional:
H_0:\mu = 500\quad\text{e}\quad H_1:\mu \neq 500.
A estatística de teste é
t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}.
O teste é de duas caudas, pois queremos detectar desvios para mais ou para menos.

Passo 3

Calculamos o erro-padrão da média:
\text{EP} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{30}{\sqrt{40}}\approx \frac{30}{6,3246}\approx4,743.
Logo, a estatística observada é
t_{\text{obs}} = \frac{475 - 500}{4,743}\approx -5,27.

Passo 4

O grau de liberdade é n-1=39. Para \alpha/2=0,005 em cada cauda, o valor crítico tabelado é
t_{0,005;39}\approx2,704.
A região de rejeição de H_0 é |t|>2,704.

Passo 5

Com |t_{\text{obs}}|\approx5,27>2,704, a estatística cai na região crítica. Portanto, rejeitamos H_0.

Passo 6

Ao nível de significância \alpha=0,01, há evidências suficientes para concluir que a média dos pesos não é 500 g, ou seja, a máquina não está empacotando adequadamente.

Resposta

Rejeita-se H_0; conclui-se que a máquina empacota com peso médio diferente de 500 g.

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