Questão 1\left(\mathbf{3 , 0 )}\right. : Gás hidrogênio a 80^{\circ} \mathrm{C} a \mathrm{p}=1 \mathrm{~atm} é armazenado em um recipiente esférico de 1,5 \mathrm{~m} de diâmetro externo feito de Fe de 2 cm de espessura. A concentração molar do hidrogênio na superfície interna pode ser determinada pela lei dos gases ideais. A concentração molar é desprezível na superfície externa. Determine a vazão mássica do hidrogênio por difusão através do recipiente de Fe.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Temperatura interna do gás: T=80^\circ\mathrm{C}=353{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Pressão do hidrogênio no interior: p=1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}.
    • Recipiente esférico com diâmetro externo D_{\text{ext}}=1{,}5\\ \mathrm{m} e espessura da parede de Fe t=2\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
    • Concentração molar de hidrogênio na superfície interna pode ser obtida pela lei dos gases ideais.
    • Concentração molar na superfície externa é desprezível (ou seja, c(b)\approx0).
  • Geometria (vou nomear a raio interno e b raio externo):
    • Raio externo: b=\dfrac{D_{\text{ext}}}{2}=0{,}75\\ \mathrm{m}.
    • Raio interno: a=b-t=0{,}75-0{,}02=0{,}73\\ \mathrm{m}.
  • O que se pede:
    • Determinar a vazão mássica do hidrogênio por difusão através da parede de Fe, ou seja \dot m (unidade \mathrm{kg/s}) em regime estacionário.

Passo 2

Determinar a concentração molar do hidrogênio na superfície interna usando a lei dos gases ideais e explicar esse passo.
  • Lei dos gases ideais (para concentração molar c, número de mols por volume):
c=\frac{p}{R\,T},
onde:
  • p é a pressão (Pa),
  • R é a constante universal dos gases R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
  • T é a temperatura em K.
  • Substituindo os valores:
c_1=\frac{101325}{8{,}314\cdot353{,}15}\\ \mathrm{mol/m^3}.
  • Calculemos numericamente:
8{,}314\cdot353{,}15=2937{,}7\quad\Rightarrow\quad c_1=\frac{101325}{2937{,}7}\approx34{,}50\\ \mathrm{mol/m^3}.
Comentário didático curto: aqui interpretamos a “concentração molar na superfície interna” como a concentração do hidrogênio no gás imediatamente adjacente à superfície interna; a questão indicou usar a lei dos gases ideais para isto, por isso esse cálculo.

Passo 3

Modelo de difusão e derivação da expressão para o fluxo molar em regime estacionário numa casca esférica.
  • Conceito usado: Fick (primeira lei) para fluxo molar radial J_r em coordenadas esféricas:
J_r(r)=-D\,\frac{dc}{dr},
onde:
  • D é o coeficiente de difusão efetivo do hidrogênio na Fe (unidade \mathrm{m^2/s}),
  • c(r) é a concentração molar (mol/m^3) dentro do material,
  • J_r tem unidade \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}.
  • Em geometria esférica, a vazão molar total (taxa de mols por segundo) é dada por:
\dot n = J_r(r)\cdot 4\pi r^2.
Em regime estacionário \dot n é constante (independente de r). Substituindo J_r:
\dot n = -D\cdot 4\pi r^2\frac{dc}{dr}.
  • Separando variáveis e integrando de r=a (superfície interna) até r=b (superfície externa), com c(a)=c_1 e c(b)=0:
\frac{dc}{dr} = -\frac{\dot n}{4\pi D}\cdot\frac{1}{r^2}.
Integramos:
\int_{c_1}^{0} dc = -\frac{\dot n}{4\pi D}\int_{a}^{b}\frac{dr}{r^2}.
Avaliaremos os integrandos:
- c_1 = -\frac{\dot n}{4\pi D}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
Isolando \dot n:
\dot n = 4\pi D\,c_1\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^{-1}.
Podemos simplificar a fração inversa:
\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^{-1}=\frac{ab}{b-a},
logo a expressão final para a vazão molar é
\boxed{\dot n = 4\pi D\,c_1\;\frac{ab}{\,b-a\,}}.
Didática: isso significa que a taxa de mols que atravessa a casca depende do coeficiente de difusão D, da concentração disponível na superfície interna c_1, e da geometria através de a,b. A dependência com a espessura aparece no denominador b-a.

Passo 4

Substituir os valores geométricos e o valor calculado de c_1 para obter \dot n em função de D.
  • Valores:
    • a=0{,}73\\ \mathrm{m}, b=0{,}75\\ \mathrm{m}.
    • c_1\approx34{,}50\\ \mathrm{mol/m^3}.
  • Calcule o fator geométrico:
\frac{ab}{b-a}=\frac{0{,}73\cdot0{,}75}{0{,}02}=\frac{0{,}5475}{0{,}02}=27{,}375.
  • Agora
\dot n = 4\pi D\cdot c_1\cdot27{,}375.
Calcule o coeficiente numérico:
4\pi\cdot27{,}375 \approx 343{,}995\approx344{,}0.
Portanto
\boxed{\dot n \approx 344{,}0\;D\;c_1.}
Substituindo c_1:
\dot n \approx 344{,}0\;D\cdot34{,}50 \approx 1{,}1866\times10^{4}\;D\quad(\mathrm{mol/s}),
ou seja
\boxed{\dot n \approx 1{,}1866\times10^{4}\;D\quad(\mathrm{mol/s}),}
onde D está em \mathrm{m^2/s}.

Passo 5

Converter vazão molar para vazão mássica e discutir o coeficiente de difusão D (não fornecido).
  • Molar mass do hidrogênio molecular \mathrm{H_2}:
M=2{,}016\\ \mathrm{g/mol}=0{,}002016\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Vazão mássica:
\dot m = M\cdot\dot n = M\cdot 1{,}1866\times10^{4}\;D \approx 0{,}002016\cdot1{,}1866\times10^{4}\;D.
  • Calcule o coeficiente numérico:
0{,}002016\cdot1{,}1866\times10^{4}\approx23{,}92,
logo
\boxed{\dot m \approx 23{,}92\;D\quad(\mathrm{kg/s}),}
com D em \mathrm{m^2/s}.
  • Observação importante (porque a questão não deu D): o valor de D para hidrogênio dissolvido/penetração em ferro depende da microestrutura e da temperatura. Como a questão não fornece D, fica natural apresentar a resposta em função de D. Para termos uma ordem de grandeza, tomo um valor típico aproximado para hidrogênio em ferro a temperatura próxima: D\sim 1\times10^{-8}\\ \mathrm{m^2/s} (esse valor é apenas uma estimativa típica — em algumas ligas e temperaturas D pode ser menor ou maior).
  • Estimativa numérica (com D=1\times10^{-8}\\ \mathrm{m^2/s}):
\dot m \approx 23{,}92\times 1\times10^{-8}=2{,}392\times10^{-7}\\ \mathrm{kg/s}.
  • Se D=1\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s} (ordem de magnitude maior), então \dot m\approx2{,}392\times10^{-6}\\ \mathrm{kg/s}.
Breve verificação de unidades: D em \mathrm{m^2/s} vezes coeficiente adimensional/número com unidades combinadas resultou em \mathrm{kg/s}, conforme desejado.

Passo 6

Resumo interpretativo e dica para a prova.
  • Resumo: a expressão geral em regime estacionário para a vazão mássica é
\dot m = M\cdot 4\pi D\, c_1\;\frac{ab}{b-a},
com c_1=\dfrac{p}{R T}, a e b os raios interno e externo. Na prova, sempre:
  1. escreva a lei dos gases para obter c_1;
  2. escreva Fick e lembre-se de que em esfera a área varia com r^2;
  3. integre corretamente usando os limites de a a b;
  4. converta de mol/s para kg/s pela massa molar.
  • Dica prática: se o enunciado não fornecer D, apresente a expressão em função de D e, se pedir número, justifique a escolha de um D típico (e explique que é uma estimativa).

Resposta

\dot m = M\cdot 4\pi D\, c_1\;\dfrac{ab}{b-a} \quad=\quad 23{,}92\,D\\ \mathrm{(kg/s)}, com D em \mathrm{m^2/s}.\n
Estimativa numérica para D=1\times10^{-8}\\ \mathrm{m^2/s}: \dot m \approx 2{,}392\times10^{-7}\\ \mathrm{kg/s}.

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