Questão
: Gás hidrogênio a
a
é armazenado em um recipiente esférico de
de diâmetro externo feito de Fe de 2 cm de espessura. A concentração molar do hidrogênio na superfície interna pode ser determinada pela lei dos gases ideais. A concentração molar é desprezível na superfície externa. Determine a vazão mássica do hidrogênio por difusão através do recipiente de Fe.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- Temperatura interna do gás:
. - Pressão do hidrogênio no interior:
. - Recipiente esférico com diâmetro externo
e espessura da parede de Fe . - Concentração molar de hidrogênio na superfície interna pode ser obtida pela lei dos gases ideais.
- Concentração molar na superfície externa é desprezível (ou seja,
).
- Temperatura interna do gás:
- Geometria (vou nomear
raio interno e raio externo): - Raio externo:
. - Raio interno:
.
- Raio externo:
- O que se pede:
- Determinar a vazão mássica do hidrogênio por difusão através da parede de Fe, ou seja
(unidade ) em regime estacionário.
- Determinar a vazão mássica do hidrogênio por difusão através da parede de Fe, ou seja
Passo 2
Determinar a concentração molar do hidrogênio na superfície interna usando a lei dos gases ideais e explicar esse passo.
- Lei dos gases ideais (para concentração molar
, número de mols por volume):
onde:
-
é a pressão (Pa), -
é a constante universal dos gases , -
é a temperatura em K. -
Substituindo os valores:
- Calculemos numericamente:
Comentário didático curto: aqui interpretamos a “concentração molar na superfície interna” como a concentração do hidrogênio no gás imediatamente adjacente à superfície interna; a questão indicou usar a lei dos gases ideais para isto, por isso esse cálculo.
Passo 3
Modelo de difusão e derivação da expressão para o fluxo molar em regime estacionário numa casca esférica.
- Conceito usado: Fick (primeira lei) para fluxo molar radial
em coordenadas esféricas:
onde:
-
é o coeficiente de difusão efetivo do hidrogênio na Fe (unidade ), -
é a concentração molar (mol/m^3) dentro do material, -
tem unidade . -
Em geometria esférica, a vazão molar total (taxa de mols por segundo) é dada por:
Em regime estacionário
é constante (independente de
). Substituindo
:
- Separando variáveis e integrando de
(superfície interna) até (superfície externa), com e :
Integramos:
Avaliaremos os integrandos:
Isolando
:
Podemos simplificar a fração inversa:
logo a expressão final para a vazão molar é
Didática: isso significa que a taxa de mols que atravessa a casca depende do coeficiente de difusão
, da concentração disponível na superfície interna
, e da geometria através de
. A dependência com a espessura aparece no denominador
.
Passo 4
Substituir os valores geométricos e o valor calculado de
para obter
em função de
.
-
Valores:
-
, . -
.
-
-
Calcule o fator geométrico:
- Agora
Calcule o coeficiente numérico:
Portanto
Substituindo
:
ou seja
onde
está em
.
Passo 5
Converter vazão molar para vazão mássica e discutir o coeficiente de difusão
(não fornecido).
- Molar mass do hidrogênio molecular
:
- Vazão mássica:
- Calcule o coeficiente numérico:
logo
com
em
.
-
Observação importante (porque a questão não deu
): o valor de para hidrogênio dissolvido/penetração em ferro depende da microestrutura e da temperatura. Como a questão não fornece , fica natural apresentar a resposta em função de . Para termos uma ordem de grandeza, tomo um valor típico aproximado para hidrogênio em ferro a temperatura próxima: (esse valor é apenas uma estimativa típica — em algumas ligas e temperaturas pode ser menor ou maior). -
Estimativa numérica (com
):
- Se
(ordem de magnitude maior), então .
Breve verificação de unidades:
em
vezes coeficiente adimensional/número com unidades combinadas resultou em
, conforme desejado.
Passo 6
Resumo interpretativo e dica para a prova.
- Resumo: a expressão geral em regime estacionário para a vazão mássica é
com
,
e
os raios interno e externo. Na prova, sempre:
- escreva a lei dos gases para obter
; - escreva Fick e lembre-se de que em esfera a área varia com
; - integre corretamente usando os limites de
a ; - converta de mol/s para kg/s pela massa molar.
- Dica prática: se o enunciado não fornecer
, apresente a expressão em função de e, se pedir número, justifique a escolha de um típico (e explique que é uma estimativa).
Resposta
Estimativa numérica para