Encontre todos os homomorfismos de \mathbb{Z} em \mathbb{Z}_{4}. OBS: Considere as possíveis imagens de 1 \in \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os homomorfismos de grupos (sob adição) f\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_4. Vamos usar que \mathbb{Z} é cíclico, gerado por 1, e que todo homomorfismo de um grupo cíclico é determinado pela imagem de seu gerador.

Passo 2

Seja f\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_4 um homomorfismo. Defina
a = f(1)\in\mathbb{Z}_4.
Como 1 gera \mathbb{Z}, o valor de a fixa completamente f.

Passo 3

Pela propriedade de homomorfismo de grupos (aditivos), para todo n\in\mathbb{Z} temos
f(n)=f(\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\text{ vezes}})=n\,f(1)=n\,a \quad(\text{em }\mathbb{Z}_4).

Passo 4

Em \mathbb{Z}_4 há exatamente quatro elementos, representados por \{0,1,2,3\}. Logo as únicas possibilidades para a=f(1) são
a\in\{0,1,2,3\}.

Passo 5

Para cada escolha de a em \{0,1,2,3\} obtemos um homomorfismo
f_a(n)=n\,a\pmod{4}.
Em particular:
f_0(n)=0,\quad f_1(n)=n,\quad f_2(n)=2n,\quad f_3(n)=3n,
todos calculados em \mathbb{Z}_4.

Resposta

Os homomorfismos de \mathbb{Z} em \mathbb{Z}_4 são exatamente
f_a(n)=n\,a\pmod{4} \quad\text{com }a\in\{0,1,2,3\}.

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