Encontre todos os homomorfismos de \mathbb{Z} em \mathbb{Z}_{4}. OBS: Considere as possíveis imagens de 1 \in \mathbb{Z}.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os homomorfismos de grupos (sob adição) f\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_4. Vamos usar que \mathbb{Z} é cíclico, gerado por 1, e que todo homomorfismo de um grupo cíclico é determinado pela imagem de seu gerador.
Passo 2
Seja f\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_4 um homomorfismo. Defina
a = f(1)\in\mathbb{Z}_4.
Como 1 gera \mathbb{Z}, o valor de a fixa completamente f.
Passo 3
Pela propriedade de homomorfismo de grupos (aditivos), para todo n\in\mathbb{Z} temos