Marque V para verdadeiro e F para falso. Justifique cada resposta.
(a) (F) Se
é anel com unidade, entāo
é comutativo.
(b)
anel
é um domínio de integridade.
(c) (
) Todo anel comutativo tem unidade.
(d) ( V )
anel das funções reais com a adição e multiplicação usuais, denotado por
, é anel com divisores de zero.
(a) (F) Se
(b)
(c) (
(d) ( V )
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre anéis é verdadeira ou falsa, marcando V ou F e justificando. O conteúdo envolve definição de anel com unidade, comutativo, domínio de integridade e divisores de zero. Vamos analisar cada item usando exemplos e propriedades padrão de teoria de anéis.
Passo 2
Avaliação de (a): “Se
é anel com unidade, então
é comutativo.”
Um anel com unidade só garante a existência de um elemento neutro para a multiplicação, mas não impõe que . Um contraexemplo clássico é o anel das matrizes
sobre
, que denotamos por
. Este é um anel com unidade (a matriz identidade
), mas em geral
. Logo, a afirmação é falsa.
Um anel com unidade só garante a existência de um elemento neutro para a multiplicação, mas não impõe que
Passo 3
Avaliação de (b): “O anel
é um domínio de integridade.”
Um domínio de integridade é um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. Em
temos
Um domínio de integridade é um anel comutativo com unidade
com
e
. Logo existem divisores de zero, de modo que
não é domínio de integridade. A afirmação é falsa.
Passo 4
Avaliação de (c): “Todo anel comutativo tem unidade.”
A existência de unidade não decorre da comutatividade. Por exemplo, o conjunto com as operações usuais é um anel comutativo, mas não há elemento
em
tal que
para todo
. Portanto, nem todo anel comutativo possui unidade. A afirmação é falsa.
A existência de unidade não decorre da comutatividade. Por exemplo, o conjunto
Passo 5
Avaliação de (d): “O anel das funções reais
Ambas são funções não nulas em
e
são divisores de zero. A afirmação é verdadeira.
Resposta
(a) F
(b) F
(c) F
(d) V
(b) F
(c) F
(d) V