Marque V para verdadeiro e F para falso. Justifique cada resposta.
(a) (F) Se A é anel com unidade, entāo A é comutativo.
(b) (F) \mathrm{O} anel \mathbb{Z}_{8} é um domínio de integridade.
(c) ( F ) Todo anel comutativo tem unidade.
(d) ( V ) O anel das funções reais com a adição e multiplicação usuais, denotado por \mathbb{R}^{\mathbb{R}}, é anel com divisores de zero.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre anéis é verdadeira ou falsa, marcando V ou F e justificando. O conteúdo envolve definição de anel com unidade, comutativo, domínio de integridade e divisores de zero. Vamos analisar cada item usando exemplos e propriedades padrão de teoria de anéis.

Passo 2

Avaliação de (a): “Se A é anel com unidade, então A é comutativo.”
Um anel com unidade só garante a existência de um elemento neutro para a multiplicação, mas não impõe que ab=ba. Um contraexemplo clássico é o anel das matrizes 2\times2 sobre \mathbb{R}, que denotamos por \mathbb{M}_2(\mathbb{R}). Este é um anel com unidade (a matriz identidade I), mas em geral AB\neq BA. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

Avaliação de (b): “O anel \mathbb{Z}_{8} é um domínio de integridade.”
Um domínio de integridade é um anel comutativo com unidade 1\neq0 e sem divisores de zero. Em \mathbb{Z}_{8} temos
2\cdot4\equiv0\pmod{8},
com 2\not\equiv0 e 4\not\equiv0. Logo existem divisores de zero, de modo que \mathbb{Z}_{8} não é domínio de integridade. A afirmação é falsa.

Passo 4

Avaliação de (c): “Todo anel comutativo tem unidade.”
A existência de unidade não decorre da comutatividade. Por exemplo, o conjunto 2\mathbb{Z}=\{\dots,-4,-2,0,2,4,\dots\} com as operações usuais é um anel comutativo, mas não há elemento e em 2\mathbb{Z} tal que e\cdot x=x para todo x\in2\mathbb{Z}. Portanto, nem todo anel comutativo possui unidade. A afirmação é falsa.

Passo 5

Avaliação de (d): “O anel das funções reais \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\) é anel com divisores de zero.” No anel \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\) definimos \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) e \((f\cdot g)(x)=f(x)g(x)\). Consideremos \[f(x)=\begin{cases} 1,&x\ge0,\\\\ 0,&x<0, \end{cases} \quad g(x)=\begin{cases} 0,&x\ge0,\\\\ 1,&x<0. \end{cases}
Ambas são funções não nulas em \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\], mas \[(f\cdot g)(x)=f(x)\,g(x)=0\quad\forall x\in\mathbb{R},\] ou seja, \(f e g são divisores de zero. A afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) F
(d) V

Exercícios relacionados