e pede três coisas:
a) o divergente de \vec{F}(x,y,z);
b) o rotacional (ou curl) de \vec{F}(x,y,z);
c) decidir se \vec{F} é conservativo e justificar a resposta.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que usaremos: as componentes do campo são
Definição e cálculo do divergente. O divergente de um campo vetorial \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às respetivas coordenadas:
(explicação rápida: y^{2} é tratado como constante ao derivar em relação a x.)
Para \displaystyle \frac{\partial F_y}{\partial y} com F_y(x,y,z)=\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr), usamos a regra da cadeia: se g(u)=\cos(u) e u(x,y)=x^{2}+y^{2}, então
Isso é o divergente pedido. Interpretação curta: é uma função escalar que em cada ponto mede a “taxa líquida de saída” do fluxo do campo daquele ponto.
Passo 5
Definição e método para calcular o rotacional. O rotacional de \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) é o vetor
Decisão sobre ser conservativo e justificativa. Lembrete prático (usado em provas): se um campo vetorial é conservativo em um domínio simples (por exemplo \mathbb{R}^{3}, que é simplesmente conectado), então seu rotacional deve ser o vetor zero em todo o domínio. Aqui encontramos
\nabla\times\vec{F}=(0,0,2y-2x\sin(x^{2}+y^{2})).
Esse vetor não é o vetor zero para valores gerais de (x,y,z) — por exemplo, em (x,y,z)=(1,0,0) o componente k vale 2\cdot 0-2\cdot1\cdot\sin(1)=-2\sin(1)\neq0. Logo o rotacional não é identicamente zero, e como o domínio natural do campo é todo \mathbb{R}^{3} (simply connected), concluímos que \vec{F} não é conservativo.
Resposta
a) \nabla\cdot\vec{F}=2x-2y\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+\cos(z)
b) \nabla\times\vec{F}=\bigl(0,0,\,2y-2x\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\bigr)
c) Não; \nabla\times\vec{F}\neq\vec{0} (por exemplo em (1,0,0) o rotacional tem componente k=-2\sin(1)\neq0), e o domínio é \mathbb{R}^{3} simplesmente conexo, portanto o campo não é conservativo.