Questão 6: [2,0 pontos] Considere o seguinte campo vetorial:
\vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2}-y^{2}\right) \hat{\imath}+\cos \left(x^{2}+y^{2}\right) \hat{\jmath}+\sin (z) \hat{k}
Calcule:
a) Divergente de \vec{F}(x, y, z)
b) Rotacional de \vec{F}(x, y, z)
c) O campo \vec{F}(x, y, z) é conservativo? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,\hat{\imath}+\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,\hat{\jmath}+\sin(z)\,\hat{k}
e pede três coisas:
a) o divergente de \vec{F}(x,y,z);
b) o rotacional (ou curl) de \vec{F}(x,y,z);
c) decidir se \vec{F} é conservativo e justificar a resposta.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que usaremos: as componentes do campo são
F_x(x,y,z)=x^{2}-y^{2},\qquad F_y(x,y,z)=\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr),\qquad F_z(x,y,z)=\sin(z).
A resolução começa agora.

Passo 2

Definição e cálculo do divergente. O divergente de um campo vetorial \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às respetivas coordenadas:
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Aqui cada termo significa: \partial F_x/\partial x é a taxa de variação de F_x quando variamos x mantendo y,z fixos, e assim por diante.
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais para o divergente:
  1. Para \displaystyle \frac{\partial F_x}{\partial x} com F_x(x,y,z)=x^{2}-y^{2},
\frac{\partial F_x}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)=2x.
(explicação rápida: y^{2} é tratado como constante ao derivar em relação a x.)
  1. Para \displaystyle \frac{\partial F_y}{\partial y} com F_y(x,y,z)=\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr), usamos a regra da cadeia: se g(u)=\cos(u) e u(x,y)=x^{2}+y^{2}, então
\frac{\partial F_y}{\partial y}=\frac{d}{du}\cos(u)\Big|_{u=x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}) =-\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\cdot 2y=-2y\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
(lembrando: \frac{d}{du}\cos u=-\sin u e \partial(x^{2}+y^{2})/\partial y=2y.)
  1. Para \displaystyle \frac{\partial F_z}{\partial z} com F_z(x,y,z)=\sin(z),
\frac{\partial F_z}{\partial z}=\cos(z).
Agora somamos os três termos para obter o divergente.

Passo 4

Resultado do divergente. Somando os termos calculados:
\nabla\cdot\vec{F}=2x-2y\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+\cos(z).
Isso é o divergente pedido. Interpretação curta: é uma função escalar que em cada ponto mede a “taxa líquida de saída” do fluxo do campo daquele ponto.

Passo 5

Definição e método para calcular o rotacional. O rotacional de \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) é o vetor
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat{\imath}+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat{\jmath}+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat{k}.
Cada componente compara variações cruzadas das componentes do campo; novamente usamos derivadas parciais e a regra da cadeia quando necessário.

Passo 6

Cálculo do rotacional componente a componente:
  1. Componente \hat{\imath}:
\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial y}\sin(z)-\frac{\partial}{\partial z}\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=0-0=0,
pois \sin(z) não depende de y e \cos(x^{2}+y^{2}) não depende de z.
  1. Componente \hat{\jmath}:
\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\sin(z)=0-0=0,
pois x^{2}-y^{2} não depende de z e \sin(z) não depende de x.
  1. Componente \hat{k}:
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}.
Calculamos separadamente:
\frac{\partial F_y}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=-\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\cdot 2x=-2x\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr),
\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)=-2y.
Subtraindo,
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=-2x\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)-(-2y)=2y-2x\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Portanto o rotacional é
\nabla\times\vec{F}=\bigl(0,0,\,2y-2x\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\bigr).

Passo 7

Decisão sobre ser conservativo e justificativa. Lembrete prático (usado em provas): se um campo vetorial é conservativo em um domínio simples (por exemplo \mathbb{R}^{3}, que é simplesmente conectado), então seu rotacional deve ser o vetor zero em todo o domínio. Aqui encontramos
\nabla\times\vec{F}=(0,0,2y-2x\sin(x^{2}+y^{2})).
Esse vetor não é o vetor zero para valores gerais de (x,y,z) — por exemplo, em (x,y,z)=(1,0,0) o componente k vale 2\cdot 0-2\cdot1\cdot\sin(1)=-2\sin(1)\neq0. Logo o rotacional não é identicamente zero, e como o domínio natural do campo é todo \mathbb{R}^{3} (simply connected), concluímos que \vec{F} não é conservativo.

Resposta

a) \nabla\cdot\vec{F}=2x-2y\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+\cos(z)
b) \nabla\times\vec{F}=\bigl(0,0,\,2y-2x\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\bigr)
c) Não; \nabla\times\vec{F}\neq\vec{0} (por exemplo em (1,0,0) o rotacional tem componente k=-2\sin(1)\neq0), e o domínio é \mathbb{R}^{3} simplesmente conexo, portanto o campo não é conservativo.

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