Questão 1: [2,0 pontos] Calcule:
\int \ln x d x

Passo 1

Enunciado: calcular a integral indefinida \int \ln x \, dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função dentro da integral é \ln x.
  • O logaritmo natural \ln x está definido para x>0, então vamos assumir x>0 durante a resolução.
  • Como é uma integral indefinida, o resultado terá uma constante de integração que vou chamar de C.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a técnica de integração por partes. Não vou adivinhar nada: escolha-se integração por partes porque temos um produto implícito entre uma função complicada para integrar ( \ln x) e 1 (já que \ln x = \ln x \cdot 1). A ideia é derivar a parte que fica mais simples ao derivar ( \ln x) e integrar a parte simples ( 1). Essa é exatamente a situação típica para integração por partes.

Passo 3

Apresento a fórmula de integração por partes e explico cada termo:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que escolhemos (deve ser fácil de derivar);
  • dv é a outra parte do integrando (deve ser fácil de integrar);
  • du é a diferencial da função u, isto é, du = u'(x)\,dx;
  • v é uma antiderivada de dv, isto é, \displaystyle v=\int dv.

Passo 4

Escolha das partes para aplicar a fórmula:
  • Tome u = \ln x. Justificativa: ao derivar \ln x fica \dfrac{1}{x}, que é mais simples.
  • Tome dv = dx. Justificativa: é trivial integrar dx.

Passo 5

Calcule du e v:
  • Derivando u: du = \dfrac{d}{dx}(\ln x)\,dx = \dfrac{1}{x}\,dx.
  • Integrando dv: \displaystyle v=\int dv=\int dx = x.
    Mostrei passo a passo como obter du e v.

Passo 6

Substitua na fórmula de integração por partes:
\int \ln x \, dx = \int u\,dv = u v - \int v\,du.
Agora substituindo u=\ln x, v=x e du=\dfrac{1}{x}\,dx:
\int \ln x \, dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando o integrando da segunda parcela:
x\cdot\frac{1}{x}=1,
então
\int \ln x \, dx = x\ln x - \int 1 \, dx.

Passo 7

Calcule a integral restante e junte tudo:
\int 1 \, dx = x,
portanto
\int \ln x \, dx = x\ln x - x + C,
onde C é a constante de integração (um número real arbitrário, porque integrais indefinidas são definidas até uma constante).

Passo 8

Verificação rápida (opcional mas útil): derivando o resultado obtemos a função integranda:
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln x - x + C\bigr)=\ln x + x\cdot\frac{1}{x} - 1 + 0 = \ln x,
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

x\ln x - x + C

Exercícios relacionados