Questão 1: [2,0 pontos] Calcule:
Passo 1
Enunciado: calcular a integral indefinida
.
Informações dadas e observações iniciais:
- A função dentro da integral é
. - O logaritmo natural
está definido para , então vamos assumir durante a resolução. - Como é uma integral indefinida, o resultado terá uma constante de integração que vou chamar de
.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar a técnica de integração por partes. Não vou adivinhar nada: escolha-se integração por partes porque temos um produto implícito entre uma função complicada para integrar (
) e
(já que
). A ideia é derivar a parte que fica mais simples ao derivar (
) e integrar a parte simples (
). Essa é exatamente a situação típica para integração por partes.
Passo 3
Apresento a fórmula de integração por partes e explico cada termo:
Aqui:
-
é uma função que escolhemos (deve ser fácil de derivar); -
é a outra parte do integrando (deve ser fácil de integrar); -
é a diferencial da função , isto é, ; -
é uma antiderivada de , isto é, .
Passo 4
Escolha das partes para aplicar a fórmula:
- Tome
. Justificativa: ao derivar fica , que é mais simples. - Tome
. Justificativa: é trivial integrar .
Passo 5
Calcule
e
:
- Derivando
: . - Integrando
: .
Mostrei passo a passo como obtere .
Passo 6
Substitua na fórmula de integração por partes:
Agora substituindo
,
e
:
Simplificando o integrando da segunda parcela:
então
Passo 7
Calcule a integral restante e junte tudo:
portanto
onde
é a constante de integração (um número real arbitrário, porque integrais indefinidas são definidas até uma constante).
Passo 8
Verificação rápida (opcional mas útil): derivando o resultado obtemos a função integranda:
confirmando que a primitiva está correta.