Questão 1: [2,0 pontos] Calcule:
\int \frac{4 x^{3}+3 x^{2}+2 x+1}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+11} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{4 x^{3}+3 x^{2}+2 x+1}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+11}\,dx.
Informações importantes dadas:
\text{numerador} = 4 x^{3}+3 x^{2}+2 x+1,
\text{denominador} = x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+11.
Não há outras condições explícitas; a integral é indefinida (tem constante de integração).

Passo 2

Observação chave (que facilita tudo): calcule a derivada do denominador. Seja
D(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+11.
A derivada de D é
D'(x)=4x^{3}+3x^{2}+2x+1.
Note que D'(x) coincide exatamente com o numerador da integral. Ou seja,
\text{numerador} = D'(x).

Passo 3

Quando a integranda tem a forma \dfrac{f'(x)}{f(x)}, uma técnica direta é a substituição u=f(x). Vou explicar essa técnica passo a passo porque é muito útil na prova.
Se fizermos u=D(x), então
du = D'(x)\,dx.
Como vimos, D'(x)\,dx é exatamente o numerador vezes dx. Portanto a integral
\int \frac{D'(x)}{D(x)}\,dx
sob a substituição u=D(x) transforma-se em
\int \frac{du}{u}.
Aqui eu usei que trocar D'(x)\,dx por du é legal porque du representa a variação infinitesimal de u.

Passo 4

Agora integramos a forma simples obtida. A integral de \dfrac{1}{u} é o logaritmo natural. Mais precisamente,
\int \frac{du}{u} = \ln\left|u\right| + C,
onde C é a constante de integração. O valor absoluto aparece porque o logaritmo natural \ln(u) só está definido para u>0, e na primitiva devemos cobrir também a possibilidade de u<0.
Explicando didaticamente: a regra geral é
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\!\left|f(x)\right| + C,
para qualquer função f diferenciável que não seja zero no ponto considerado. Essa identidade sai diretamente da substituição u=f(x).

Passo 5

Voltando à nossa função original, lembrando que u=D(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+11, aplicamos o resultado do passo anterior:
\int \frac{4 x^{3}+3 x^{2}+2 x+1}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+11}\,dx = \ln\!\left|x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+11\right| + C.

Passo 6

Pequeno exemplo extra (para fixar): se tivéssemos \int \dfrac{2x}{x^{2}+1}\,dx, tomaríamos u=x^{2}+1 e du=2x\,dx, dando
\int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln\left|u\right| + C = \ln\left(x^{2}+1\right) + C.
É o mesmo padrão: numerador é derivada do denominador.

Resposta

\ln\!\left|x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+11\right| + C

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