Não há outras condições explícitas; a integral é indefinida (tem constante de integração).
Passo 2
Observação chave (que facilita tudo): calcule a derivada do denominador. Seja
D(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+11.
A derivada de D é
D'(x)=4x^{3}+3x^{2}+2x+1.
Note que D'(x) coincide exatamente com o numerador da integral. Ou seja,
\text{numerador} = D'(x).
Passo 3
Quando a integranda tem a forma \dfrac{f'(x)}{f(x)}, uma técnica direta é a substituição u=f(x). Vou explicar essa técnica passo a passo porque é muito útil na prova.
Se fizermos u=D(x), então
du = D'(x)\,dx.
Como vimos, D'(x)\,dx é exatamente o numerador vezes dx. Portanto a integral
\int \frac{D'(x)}{D(x)}\,dx
sob a substituição u=D(x) transforma-se em
\int \frac{du}{u}.
Aqui eu usei que trocar D'(x)\,dx por du é legal porque du representa a variação infinitesimal de u.
Passo 4
Agora integramos a forma simples obtida. A integral de \dfrac{1}{u} é o logaritmo natural. Mais precisamente,
\int \frac{du}{u} = \ln\left|u\right| + C,
onde C é a constante de integração. O valor absoluto aparece porque o logaritmo natural \ln(u) só está definido para u>0, e na primitiva devemos cobrir também a possibilidade de u<0.