Questão 5 [2,0 pontos]:

a) Determinar a equação da reta tangente à curva
y=\sqrt{x-1}\left(x^{2}-1\right), \text { no ponto }(2,3) ;
b) Verifique se o ponto de intersecção da reta tangente com o eixo das abscissas pertence ao domínio da função f(x)=y. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado fornece a função
y=\sqrt{x-1}\left(x^{2}-1\right)
e o ponto (2,3). As perguntas são:
  • (a) Determinar a equação da reta tangente à curva no ponto (2,3).
  • (b) Verificar se o ponto de intersecção dessa reta tangente com o eixo das abscissas (isto é, o ponto onde y=0 na reta) pertence ao domínio da função f(x)=y. Justificar.
Informações relevantes dadas ou que podemos verificar imediatamente:
  • A função pode ser escrita como y=(x-1)^{1/2}\,(x^{2}-1).
  • Verificação rápida que o ponto pertence à curva: calcular y(2)=\sqrt{2-1}\,(2^{2}-1)=1\cdot 3=3, logo (2,3) está de fato sobre a curva.
  • Observação sobre domínio: a raiz quadrada exige x-1\ge 0, portanto o domínio natural da função é [1,\infty).

Passo 2

Vamos calcular a derivada y' da função, que nos dá o coeficiente angular da reta tangente em cada x. Para isso usamos a regra do produto e a derivada da função raiz.
Lembrando as regras que vamos usar:
  • Regra do produto: se y=u(x)\,v(x) então
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Aqui u(x)=(x-1)^{1/2} e v(x)=x^{2}-1.
  • Derivada da raiz: se u(x)=(x-1)^{1/2} então, usando a regra da cadeia,
u'(x)=\frac{1}{2}(x-1)^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}.
  • Derivada do polinômio v(x)=x^{2}-1 é
v'(x)=2x.
Aplicando a regra do produto:
y' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}(x^{2}-1) + \sqrt{x-1}\,(2x).

Passo 3

Agora avaliamos a derivada no ponto x=2 para obter a inclinação da reta tangente naquele ponto.
Primeiro calculamos os termos separados em x=2:
  • \sqrt{2-1}=1.
  • \dfrac{1}{2\sqrt{2-1}}=\dfrac{1}{2}.
  • x^{2}-1 em x=2 é 2^{2}-1=4-1=3.
  • 2x em x=2 é 4.
Substituindo na expressão de y':
y'(2)=\frac{1}{2}\cdot 3 + 1\cdot 4 = \frac{3}{2}+4=\frac{3}{2}+\frac{8}{2}=\frac{11}{2}.
Portanto o coeficiente angular (a inclinação) da reta tangente em x=2 é m=\dfrac{11}{2}.

Passo 4

Com a inclinação m=\dfrac{11}{2} e sabendo que a reta tangente passa por (2,3), usamos a forma ponto-inclinação da reta:
y- y_{0}=m(x-x_{0}),
onde (x_{0},y_{0})=(2,3). Assim
y-3=\frac{11}{2}(x-2).
Se desejar, pode-se escrever na forma explícita:
y=\frac{11}{2}x - \frac{11}{2}\cdot 2 + 3 = \frac{11}{2}x -11 +3 = \frac{11}{2}x -8.

Passo 5

Encontrar a intersecção da reta tangente com o eixo das abscissas significa achar x tal que y=0 na equação da reta. Partimos da forma ponto-inclinação:
Colocando y=0 em y-3=\dfrac{11}{2}(x-2):
-3=\frac{11}{2}(x-2).
Isolando x:
x-2=-3\cdot\frac{2}{11}=-\frac{6}{11},
x=2-\frac{6}{11}=\frac{22}{11}-\frac{6}{11}=\frac{16}{11}.
Portanto a reta tangente corta o eixo x em x=\dfrac{16}{11}, isto é, no ponto \left(\dfrac{16}{11},0\right).

Passo 6

Verificamos se esse ponto pertence ao domínio da função f(x)=\sqrt{x-1}(x^{2}-1).
Recordando o domínio encontrado no Passo 1: x\ge 1, ou seja, o domínio é [1,\infty).
Comparando,
\frac{16}{11}\approx 1,4545\ldots \ge 1,
logo \dfrac{16}{11}\in[1,\infty). Portanto o ponto de intersecção da reta tangente com o eixo das abscissas tem abscissa dentro do domínio de f. Em outras palavras, o número x=\dfrac{16}{11} é um valor para o qual a função f está definida.
Observação extra (para não confundir): embora a abscissa x=\dfrac{16}{11} pertença ao domínio de f, isso não significa que f\!\left(\dfrac{16}{11}\right)=0. O zero que encontramos é da reta tangente, não da própria função; f\!\left(\dfrac{16}{11}\right) geralmente será diferente de zero.

Resposta

(a) y-3=\dfrac{11}{2}(x-2), ou equivalentemente y=\dfrac{11}{2}x-8.
(b) Sim. A intersecção com o eixo das abscissas ocorre em x=\dfrac{16}{11}, e \dfrac{16}{11}\in[1,\infty), que é o domínio de f.

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