Questão 5 [2,0 pontos]:
a) Determinar a equação da reta tangente à curva
b) Verifique se o ponto de intersecção da reta tangente com o eixo das abscissas pertence ao domínio da função
. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e o ponto
. As perguntas são:
- (a) Determinar a equação da reta tangente à curva no ponto
. - (b) Verificar se o ponto de intersecção dessa reta tangente com o eixo das abscissas (isto é, o ponto onde
na reta) pertence ao domínio da função . Justificar.
Informações relevantes dadas ou que podemos verificar imediatamente:
- A função pode ser escrita como
. - Verificação rápida que o ponto pertence à curva: calcular
, logo está de fato sobre a curva. - Observação sobre domínio: a raiz quadrada exige
, portanto o domínio natural da função é .
Passo 2
Vamos calcular a derivada
da função, que nos dá o coeficiente angular da reta tangente em cada
. Para isso usamos a regra do produto e a derivada da função raiz.
Lembrando as regras que vamos usar:
- Regra do produto: se
então
Aqui
e
.
- Derivada da raiz: se
então, usando a regra da cadeia,
- Derivada do polinômio
é
Aplicando a regra do produto:
Passo 3
Agora avaliamos a derivada no ponto
para obter a inclinação da reta tangente naquele ponto.
Primeiro calculamos os termos separados em
:
-
. -
. -
em é . -
em é .
Substituindo na expressão de
:
Portanto o coeficiente angular (a inclinação) da reta tangente em
é
.
Passo 4
Com a inclinação
e sabendo que a reta tangente passa por
, usamos a forma ponto-inclinação da reta:
onde
. Assim
Se desejar, pode-se escrever na forma explícita:
Passo 5
Encontrar a intersecção da reta tangente com o eixo das abscissas significa achar
tal que
na equação da reta. Partimos da forma ponto-inclinação:
Colocando
em
:
Isolando
:
Portanto a reta tangente corta o eixo
em
, isto é, no ponto
.
Passo 6
Verificamos se esse ponto pertence ao domínio da função
.
Recordando o domínio encontrado no Passo 1:
, ou seja, o domínio é
.
Comparando,
logo
. Portanto o ponto de intersecção da reta tangente com o eixo das abscissas tem abscissa dentro do domínio de
. Em outras palavras, o número
é um valor para o qual a função
está definida.
Observação extra (para não confundir): embora a abscissa
pertença ao domínio de
, isso não significa que
. O zero que encontramos é da reta tangente, não da própria função;
geralmente será diferente de zero.
Resposta
(a)
, ou equivalentemente
.
(b) Sim. A intersecção com o eixo das abscissas ocorre em
, e
, que é o domínio de
.