Questão 4 [2,0 pontos]: Calcule as derivadas das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e observações iniciais:
- A função está escrita em dois fatores (produto): primeiro fator
e segundo fator . - A notação
representa a tangente, isto é, . - Para que as expressões façam sentido no domínio real:
para , e é real para . Portanto, além de pontos isolados, consideraremos a derivação em (onde todas as partes estão bem definidas). - O que se pede: calcular
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Vamos simplificar as expressões internas antes de derivar (essas transformações facilitam muito as contas):
- Usamos a propriedade do logaritmo
. Como ,
- A raiz pode ser escrita como potência fracionária:
Assim podemos reescrever a função de forma mais manejável:
Dica rápida:
, que é útil para interpretação manual.
Passo 3
Listamos as regras de derivação que vamos usar (com explicações curtas):
- Regra do produto: se
, então
Isto é: derivar um dos fatores e multiplicar pelo outro, somando o termo simétrico.
- Regra da derivada de logaritmo: para
,
- Regra da potência: para qualquer real
,
- Derivada de
: da regra da potência com ,
- Derivada da tangente:
Sempre que eu aplicar uma dessas fórmulas, explico o que cada termo significa; por exemplo, em
, o
é o expoente original e
é a nova potência após derivar.
Passo 4
Identificamos os fatores para aplicar a regra do produto:
Agora calculamos
passo a passo.
Derivando
:
-
. -
.
Portanto,
Passo 5
Agora calculamos
passo a passo, onde
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Assim
Passo 6
Aplicamos a regra do produto
. Substituindo
obtidos:
Se preferir escrever
como
, uma forma equivalente é
Passo 7
Comentário didático final sobre como proceder numa prova:
- Identifique sempre os fatores do produto e trate cada derivada separadamente.
- Simplifique expressões antes de derivar quando possível (aqui transformar
em e em facilitou). - Ao final, aplique a regra do produto e deixe a resposta factorizada como acima; expandir tudo é permitido, mas às vezes torna a expressão maior sem melhorar a clareza.
- Lembre-se do domínio: a resposta vale para
(onde todas as expressões originais são reais e diferenciáveis).