Questão 4 [2,0 pontos]: Calcule as derivadas das funções a seguir:
f(x)=\left(\ln \left(x^{4}\right)-\sqrt{x^{3}}\right) \cdot\left(\frac{2}{x}+\operatorname{tg}(x)\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\left(\ln\left(x^{4}\right)-\sqrt{x^{3}}\right)\cdot\left(\frac{2}{x}+\operatorname{tg}(x)\right).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função está escrita em dois fatores (produto): primeiro fator \ln\left(x^{4}\right)-\sqrt{x^{3}} e segundo fator \dfrac{2}{x}+\operatorname{tg}(x).
  • A notação \operatorname{tg}(x) representa a tangente, isto é, \operatorname{tg}(x)=\tan(x).
  • Para que as expressões façam sentido no domínio real: x^{4}>0 para x\neq0, e \sqrt{x^{3}} é real para x\ge0. Portanto, além de pontos isolados, consideraremos a derivação em x>0 (onde todas as partes estão bem definidas).
  • O que se pede: calcular f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Vamos simplificar as expressões internas antes de derivar (essas transformações facilitam muito as contas):
  • Usamos a propriedade do logaritmo \ln(a^{b})=b\ln(a). Como x>0,
\ln\left(x^{4}\right)=4\ln x.
  • A raiz pode ser escrita como potência fracionária:
\sqrt{x^{3}}=(x^{3})^{1/2}=x^{3/2}.
Assim podemos reescrever a função de forma mais manejável:
f(x)=\bigl(4\ln x - x^{3/2}\bigr)\cdot\Bigl(\frac{2}{x}+\tan x\Bigr).
Dica rápida: x^{3/2}=x\cdot x^{1/2}=x\sqrt{x}, que é útil para interpretação manual.

Passo 3

Listamos as regras de derivação que vamos usar (com explicações curtas):
  • Regra do produto: se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto é: derivar um dos fatores e multiplicar pelo outro, somando o termo simétrico.
  • Regra da derivada de logaritmo: para x>0,
\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\frac{1}{x}.
  • Regra da potência: para qualquer real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
  • Derivada de x^{-1}: da regra da potência com n=-1,
\frac{d}{dx}\!\left(x^{-1}\right)=-x^{-2} \quad\text{ou}\quad \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^{2}}.
  • Derivada da tangente:
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^{2}x.
Sempre que eu aplicar uma dessas fórmulas, explico o que cada termo significa; por exemplo, em \dfrac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1}, o n é o expoente original e x^{n-1} é a nova potência após derivar.

Passo 4

Identificamos os fatores para aplicar a regra do produto:
u(x)=4\ln x - x^{3/2},\qquad v(x)=\frac{2}{x}+\tan x.
Agora calculamos u'(x) passo a passo.
Derivando u(x)=4\ln x - x^{3/2}:
  • \dfrac{d}{dx}(4\ln x)=4\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{4}{x}.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3/2}\bigr)=\dfrac{3}{2}x^{1/2}=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}.
    Portanto,
u'(x)=\frac{4}{x}-\frac{3}{2}\sqrt{x}.

Passo 5

Agora calculamos v'(x) passo a passo, onde v(x)=\dfrac{2}{x}+\tan x:
  • Derivada de \dfrac{2}{x}=2x^{-1} é 2\cdot(-1)x^{-2}=-2x^{-2}=-\dfrac{2}{x^{2}}.
  • Derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x.
    Assim
v'(x)=-\frac{2}{x^{2}}+\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 6

Aplicamos a regra do produto f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x). Substituindo u,u',v,v' obtidos:
f'(x)=\left(\frac{4}{x}-\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)\left(\frac{2}{x}+\tan x\right) +\left(4\ln x - x^{3/2}\right)\left(-\frac{2}{x^{2}}+\operatorname{sec}^{2}x\right).
Se preferir escrever x^{3/2} como x\sqrt{x}, uma forma equivalente é
f'(x)=\left(\frac{4}{x}-\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)\left(\frac{2}{x}+\tan x\right) +\left(4\ln x - x\sqrt{x}\right)\left(-\frac{2}{x^{2}}+\operatorname{sec}^{2}x\right).

Passo 7

Comentário didático final sobre como proceder numa prova:
  • Identifique sempre os fatores do produto e trate cada derivada separadamente.
  • Simplifique expressões antes de derivar quando possível (aqui transformar \ln(x^{4}) em 4\ln x e \sqrt{x^{3}} em x^{3/2} facilitou).
  • Ao final, aplique a regra do produto e deixe a resposta factorizada como acima; expandir tudo é permitido, mas às vezes torna a expressão maior sem melhorar a clareza.
  • Lembre-se do domínio: a resposta vale para x>0 (onde todas as expressões originais são reais e diferenciáveis).

Resposta

f'(x)=\left(\frac{4}{x}-\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)\left(\frac{2}{x}+\tan x\right) +\left(4\ln x - x\sqrt{x}\right)\left(-\frac{2}{x^{2}}+\operatorname{sec}^{2}x\right)

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