Questão 4 [2,0 pontos]: Calcule as derivadas das funções a seguir:
g(x)=\frac{e^{2 x}-x^{2}}{\operatorname{sen} x-\cos x}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
g(x)=\frac{e^{2x}-x^{2}}{\sin x-\cos x}.
Informações dadas e elementos importantes:
  • Numerador: N(x)=e^{2x}-x^{2}.
  • Denominador: D(x)=\sin x-\cos x.
  • A tarefa é encontrar g'(x), a derivada de g em termos de x.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (explicadas de forma didática):
  • Regra do quociente: se g(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)} com D(x)\neq0, então
g'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^{2}}.
Isto vem de derivar N\cdot D^{-1} usando produto e regra da cadeia; é a forma padrão para derivar uma razão.
  • Regra da cadeia (aplicada a exponencial): se h(x)=e^{u(x)}, então h'(x)=u'(x)e^{u(x)}.
  • Regra do poder (para polinômios): se p(x)=x^{n}, então p'(x)=n x^{n-1}.
  • Derivadas trigonométricas básicas: \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x e \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular N'(x), a derivada do numerador N(x)=e^{2x}-x^{2}.
  • Para e^{2x}: aqui u(x)=2x, então pela regra da cadeia
\frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}.
Expliquei: derivada de e^{u} é u' e^{u}; como u'=2, fica 2e^{2x}.
  • Para -x^{2}: pela regra do poder
\frac{d}{dx}(-x^{2})=-2x.
Portanto
N'(x)=2e^{2x}-2x.

Passo 4

Calcular D'(x), a derivada do denominador D(x)=\sin x-\cos x.
  • \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.
  • \dfrac{d}{dx}(-\cos x)=+\sin x (pois derivada de \cos x é -\sin x, com o sinal negativo dá +\sin x).
Logo
D'(x)=\cos x+\sin x.
Pode-se escrever também D'(x)=\sin x+\cos x; é o mesmo.

Passo 5

Agora aplico a regra do quociente com N,\,N',\,D,\,D' encontrados:
g'(x)=\frac{(2e^{2x}-2x)(\sin x-\cos x)-(e^{2x}-x^{2})(\sin x+\cos x)}{(\sin x-\cos x)^{2}}.
Isto já é uma forma correta da derivada; a seguir vou expandir e simplificar o numerador para deixá-la mais clara e útil na prova.

Passo 6

Expandir o numerador em duas partes para organizar a conta.
Defino
A=(2e^{2x}-2x)(\sin x-\cos x), \qquad B=(e^{2x}-x^{2})(\sin x+\cos x),
então o numerador é A-B.
Expandindo A:
A=2e^{2x}\sin x-2e^{2x}\cos x-2x\sin x+2x\cos x.
Expandindo B:
B=e^{2x}\sin x+e^{2x}\cos x-x^{2}\sin x-x^{2}\cos x.

Passo 7

Subtrair B de A e agrupar termos semelhantes:
\begin{aligned} A-B &= (2e^{2x}\sin x-2e^{2x}\cos x-2x\sin x+2x\cos x) \\\ &\quad - (e^{2x}\sin x+e^{2x}\cos x-x^{2}\sin x-x^{2}\cos x) \\\ &= (2e^{2x}\sin x-e^{2x}\sin x) + (-2e^{2x}\cos x - e^{2x}\cos x) \\\ &\quad + (-2x\sin x+2x\cos x) + (x^{2}\sin x+x^{2}\cos x) \\\ &= e^{2x}\sin x -3e^{2x}\cos x -2x\sin x +2x\cos x + x^{2}\sin x + x^{2}\cos x. \end{aligned}
Para organizar, fatoro alguns termos:
\begin{aligned} A-B &= e^{2x}(\sin x-3\cos x) + x^{2}(\sin x+\cos x) + 2x(\cos x-\sin x). \end{aligned}
Observação didática: notar que 2x(\cos x-\sin x)=-2x(\sin x-\cos x), caso queira uma forma alternativa que destaque \sin x-\cos x.

Passo 8

Escrever a expressão final simplificada da derivada, com o numerador já organizado:
g'(x)=\frac{e^{2x}(\sin x-3\cos x)+x^{2}(\sin x+\cos x)+2x(\cos x-\sin x)}{(\sin x-\cos x)^{2}}.
Comentário útil para a prova: g'(x) só existe onde o denominador (\sin x-\cos x)^{2} é diferente de zero. Assim g'(x) não é definida quando \sin x-\cos x=0, isto é, quando \tan x=1, ou seja em
x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Fique atento a esses pontos na hora de justificar existência da derivada em enunciados que peçam domínio de derivabilidade.

Resposta

g'(x)=\frac{e^{2x}(\sin x-3\cos x)+x^{2}(\sin x+\cos x)+2x(\cos x-\sin x)}{(\sin x-\cos x)^{2}}

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