Questão 4 [2,0 pontos]: Calcule as derivadas das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas e elementos importantes:
- Numerador:
. - Denominador:
. - A tarefa é encontrar
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Relembrando as regras que vou usar (explicadas de forma didática):
- Regra do quociente: se
com , então
Isto vem de derivar
usando produto e regra da cadeia; é a forma padrão para derivar uma razão.
- Regra da cadeia (aplicada a exponencial): se
, então . - Regra do poder (para polinômios): se
, então . - Derivadas trigonométricas básicas:
e .
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Calcular
, a derivada do numerador
.
- Para
: aqui , então pela regra da cadeia
Expliquei: derivada de
é
; como
, fica
.
- Para
: pela regra do poder
Portanto
Passo 4
Calcular
, a derivada do denominador
.
-
. -
(pois derivada de é , com o sinal negativo dá ).
Logo
Pode-se escrever também
; é o mesmo.
Passo 5
Agora aplico a regra do quociente com
encontrados:
Isto já é uma forma correta da derivada; a seguir vou expandir e simplificar o numerador para deixá-la mais clara e útil na prova.
Passo 6
Expandir o numerador em duas partes para organizar a conta.
Defino
então o numerador é
.
Expandindo
:
Expandindo
:
Passo 7
Subtrair
de
e agrupar termos semelhantes:
Para organizar, fatoro alguns termos:
Observação didática: notar que
, caso queira uma forma alternativa que destaque
.
Passo 8
Escrever a expressão final simplificada da derivada, com o numerador já organizado:
Comentário útil para a prova:
só existe onde o denominador
é diferente de zero. Assim
não é definida quando
, isto é, quando
, ou seja em
Fique atento a esses pontos na hora de justificar existência da derivada em enunciados que peçam domínio de derivabilidade.