Questão 3 [2 pontos]
Determine a solução do problema de valor inicial
\left(y e^{x y} \cos (2 x)-2 e^{x y} \operatorname{sen}(2 x)+2 x\right)+\left(x e^{x y} \cos (2 x)-3\right) y^{\prime}=0, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial dado por
\left(y e^{x y} \cos (2 x)-2 e^{x y} \operatorname{sen}(2 x)+2 x\right)+\left(x e^{x y} \cos (2 x)-3\right) y^{\prime}=0, \qquad y(0)=1.
Vou listar as informações relevantes que temos (isto é, os coeficientes da forma diferencial):
  • Definir M(x,y)=y e^{x y} \cos(2x)-2 e^{x y}\operatorname{sen}(2x)+2x.
  • Definir N(x,y)=x e^{x y} \cos(2x)-3.
    O objetivo final é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial y(0)=1.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática do método).
  • Vamos tratar a equação na forma diferencial exata
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
  • Uma forma diferencial M\,dx+N\,dy é exata se existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial\Psi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad\frac{\partial\Psi}{\partial y}=N.
  • O teste prático de exatidão é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se isso ocorrer em uma região, a equação é exata e podemos encontrar \Psi integrando M em relação a x (ou N em relação a y), ajustando com uma função “de integração” dependente só da outra variável.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais para testar exatidão (faço passo a passo).
Calcular \dfrac{\partial M}{\partial y}:
M(x,y)=y e^{xy}\cos(2x)-2 e^{xy}\operatorname{sen}(2x)+2x.
Derivando termo a termo em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial}{\partial y}\big(y e^{xy}\cos(2x)\big) = e^{xy}\cos(2x) + y\big(x e^{xy}\cos(2x)\big),
\frac{\partial}{\partial y}\big(-2 e^{xy}\operatorname{sen}(2x)\big) = -2\big(x e^{xy}\operatorname{sen}(2x)\big),
\frac{\partial}{\partial y}(2x)=0.
Somando:
\frac{\partial M}{\partial y} = e^{xy}\cos(2x) + x y e^{xy}\cos(2x) -2x e^{xy}\operatorname{sen}(2x).
Calcular \dfrac{\partial N}{\partial x}:
N(x,y)=x e^{xy}\cos(2x)-3.
Derivando em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x e^{xy}\cos(2x)\big) = e^{xy}\cos(2x) + x\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{xy}\cos(2x)\big).
Agora
\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{xy}\cos(2x)\big) = y e^{xy}\cos(2x) -2 e^{xy}\operatorname{sen}(2x).
Multiplicando por x e somando a primeira parcela:
\frac{\partial N}{\partial x} = e^{xy}\cos(2x) + x\big(y e^{xy}\cos(2x) -2 e^{xy}\operatorname{sen}(2x)\big).
Distribuindo:
\frac{\partial N}{\partial x} = e^{xy}\cos(2x) + x y e^{xy}\cos(2x) -2x e^{xy}\operatorname{sen}(2x).
Comparando as duas expressões:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Portanto a forma diferencial é exata.

Passo 4

Encontrar a função potencial \Psi(x,y) integrando \Psi_x=M.
Como \dfrac{\partial\Psi}{\partial x}=M, integramos M em relação a x, tratando y como constante:
Observação útil (reconhecimento): note que
\frac{d}{dx}\big(e^{xy}\cos(2x)\big) = y e^{xy}\cos(2x) -2 e^{xy}\operatorname{sen}(2x),
que aparece nos dois primeiros termos de M. Assim
M(x,y)=\frac{d}{dx}\big(e^{xy}\cos(2x)\big)+2x.
Logo, integrar M em x:
\Psi(x,y)=\int M(x,y)\,dx = \int \frac{d}{dx}\big(e^{xy}\cos(2x)\big)\,dx + \int 2x\,dx.
Fazendo as integrais:
\Psi(x,y)=e^{xy}\cos(2x)+x^2 + H(y),
onde H(y) é uma função que surge porque a integração em x determina \Psi apenas até uma função dependente só de y.

Passo 5

Determinar H(y) usando \Psi_y=N.
Calcular \dfrac{\partial\Psi}{\partial y}:
\frac{\partial\Psi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{xy}\cos(2x)\big) + \frac{\partial}{\partial y}(x^2) + H'(y) = x e^{xy}\cos(2x) + H'(y).
Mas deve valer \Psi_y=N, isto é
x e^{xy}\cos(2x) + H'(y) = x e^{xy}\cos(2x)-3.
Daí obtemos
H'(y)=-3 \quad\Rightarrow\quad H(y)=-3y + C,
onde C é constante arbitrária.
Portanto a função potencial completa é
\Psi(x,y)=e^{xy}\cos(2x)+x^2-3y + C.

Passo 6

Escrever a solução geral e aplicar a condição inicial.
A solução implícita geral da equação exata é dada pelos níveis de \Psi:
e^{xy}\cos(2x)+x^2-3y = C.
Agora usar a condição inicial y(0)=1: substituir x=0, y=1:
e^{0\cdot 1}\cos(0)+0^2-3(1)=1\cdot 1 -3 = -2.
Assim C=-2. A solução particular que satisfaz a condição inicial é, portanto,
e^{xy}\cos(2x)+x^2-3y = -2.
Observação didática final: essa expressão é uma solução implícita para y(x). Não é possível isolar y em forma elementar (pois y aparece no expoente e^{xy} e também linearmente), então a forma implícita é a forma adequada da solução para a prova. Se for necessário um valor numérico de y para dado x, pode-se resolver numericamente ou por métodos iterativos.

Resposta

e^{x y}\cos(2x)+x^2-3y=-2

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