Questão 3 [2 pontos]
Determine a solução do problema de valor inicial
Determine a solução do problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial dado por
Vou listar as informações relevantes que temos (isto é, os coeficientes da forma diferencial):
- Definir
. - Definir
.
O objetivo final é encontrar a funçãoque satisfaz a equação diferencial e a condição inicial .
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática do método).
- Vamos tratar a equação na forma diferencial exata
- Uma forma diferencial
é exata se existe uma função potencial tal que
- O teste prático de exatidão é verificar se
Se isso ocorrer em uma região, a equação é exata e podemos encontrar
integrando
em relação a
(ou
em relação a
), ajustando com uma função “de integração” dependente só da outra variável.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais para testar exatidão (faço passo a passo).
Calcular :
Calcular
Derivando termo a termo em relação a
(tratando
como constante):
Somando:
Calcular
:
Derivando em relação a
:
Agora
Multiplicando por
e somando a primeira parcela:
Distribuindo:
Comparando as duas expressões:
Portanto a forma diferencial é exata.
Passo 4
Encontrar a função potencial
integrando
.
Como , integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Observação útil (reconhecimento): note que
Como
Observação útil (reconhecimento): note que
que aparece nos dois primeiros termos de
. Assim
Logo, integrar
em
:
Fazendo as integrais:
onde
é uma função que surge porque a integração em
determina
apenas até uma função dependente só de
.
Passo 5
Determinar
usando
.
Calcular :
Calcular
Mas deve valer
, isto é
Daí obtemos
onde
é constante arbitrária.
Portanto a função potencial completa é
Passo 6
Escrever a solução geral e aplicar a condição inicial.
A solução implícita geral da equação exata é dada pelos níveis de :
A solução implícita geral da equação exata é dada pelos níveis de
Agora usar a condição inicial
: substituir
,
:
Assim
. A solução particular que satisfaz a condição inicial é, portanto,
Observação didática final: essa expressão é uma solução implícita para
. Não é possível isolar
em forma elementar (pois
aparece no expoente
e também linearmente), então a forma implícita é a forma adequada da solução para a prova. Se for necessário um valor numérico de
para dado
, pode-se resolver numericamente ou por métodos iterativos.