São dados os pontos no plano cartesiano P_{1}=(3 ; 3), P_{2}=(5 ; 1), P_{3}=(3 ;-1) e P_{4}=(-2 ; 5).
a) Determine a equação da reta que passa por P_{3} e é paraleta à reta que passa por P_{1} \in P_{4}.
b) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos P_{1}, P_{2} e P_{3}.
c) Sendo C a circunferência do item (b) e P o ponto de interseção de C com o eixo Ox , que está mais próximo da origem, determine a equação da reta tangente a C em P.

Passo 1

O enunciado dá os pontos no plano cartesiano:
  • P_{1}=(3;3)
  • P_{2}=(5;1)
  • P_{3}=(3;-1)
  • P_{4}=(-2;5)
O que é pedido:
a) Determinar a equação da reta que passa por P_{3} e é paralela à reta que passa por P_{1} e P_{4}.
b) Determinar a equação da circunferência que passa por P_{1},P_{2},P_{3}.
c) Seja C a circunferência do item (b). Seja P o ponto de interseção de C com o eixo Ox que está mais próximo da origem. Determinar a equação da reta tangente a C em P.

Passo 2

(a) Entendendo paralelismo e declividade (aula rápida): duas retas são paralelas se têm a mesma inclinação (mesmo coeficiente angular). O coeficiente angular entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dado por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
desde que x_2\neq x_1. Vou calcular a inclinação da reta que passa por P_{1} e P_{4} e então usar essa inclinação para a reta que precisa passar por P_{3}.
Calcule a inclinação entre P_{1}=(3;3) e P_{4}=(-2;5):
m=\frac{5-3}{-2-3}=\frac{2}{-5}=-\frac{2}{5}.
Assim a reta pedida terá coeficiente angular -\dfrac{2}{5} e passa por P_{3}=(3;-1). Use a forma ponto-declive da reta:
y-y_0=m(x-x_0).
Substituindo m=-\dfrac{2}{5} e (x_0,y_0)=(3,-1):
y-(-1)=-\frac{2}{5}\bigl(x-3\bigr).
Simplificando:
y+1=-\frac{2}{5}x+\frac{6}{5},
y=-\frac{2}{5}x+\frac{6}{5}-1=-\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}.
Também em forma polinomial multiplicando por 5:
2x+5y-1=0.

Passo 3

(b) Para achar a circunferência que passa por três pontos não colineares, vou usar a forma geral expandida da circunferência e resolver um sistema linear. Forma centrada:
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2,
onde (h,k) é o centro e r o raio. Expandindo:
x^2-2hx+h^2+y^2-2ky+k^2=r^2.
Reagrupando os termos dependentes de x e y:
x^2+y^2 + (-2h)x + (-2k)y + (h^2+k^2-r^2)=0.
Defino constantes A=-2h,\;B=-2k,\;C=h^2+k^2-r^2. Então para cada ponto (x,y) vale
x^2+y^2 + A x + B y + C = 0.
Vou montar esse sistema para P_{1},P_{2},P_{3}.
Para P_{1}=(3;3): x^2+y^2=9+9=18, então
18 + 3A + 3B + C = 0 \quad\Rightarrow\quad 3A+3B+C = -18. \tag{1}
Para P_{2}=(5;1): x^2+y^2=25+1=26, então
26 + 5A + 1B + C = 0 \quad\Rightarrow\quad 5A+B+C = -26. \tag{2}
Para P_{3}=(3;-1): x^2+y^2=9+1=10, então
10 + 3A -1B + C = 0 \quad\Rightarrow\quad 3A - B + C = -10. \tag{3}
Agora resolvo o sistema (1),(2),(3). Subtraindo (3) de (1):
(3A+3B+C)-(3A - B + C)=4B = -18 -(-10) = -8 \quad\Rightarrow\quad B=-2.
Substituindo B=-2 em (2):
5A + (-2) + C = -26 \quad\Rightarrow\quad 5A + C = -24. \tag{2'}
Substituindo B=-2 em (1):
3A + 3(-2) + C = -18 \quad\Rightarrow\quad 3A -6 + C = -18 \quad\Rightarrow\quad 3A + C = -12. \tag{1'}
Subtraindo (1’) de (2’):
(5A+C)-(3A+C)=2A = -24 -(-12) = -12 \quad\Rightarrow\quad A = -6.
Então de (1’) 3(-6)+C=-12 -18 + C = -12 logo C=6.
Lembrando que A=-2h e B=-2k, temos
-2h=A=-6 \quad\Rightarrow\quad h=3,
-2k=B=-2 \quad\Rightarrow\quad k=1.
E o raio satisfaz C=h^2+k^2-r^2, ou seja r^2=h^2+k^2-C=9+1-6=4, então r=2.
Portanto a circunferência é
(x-3)^2+(y-1)^2=4.

Passo 4

(c) Primeiro encontrar as interseções de C com o eixo Ox. No eixo Ox temos y=0. Substituo na equação da circunferência:
(x-3)^2 + (0-1)^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad (x-3)^2 + 1 = 4,
(x-3)^2 = 3 \quad\Rightarrow\quad x-3 = \pm\sqrt{3}.
Logo as interseções são os pontos
(3+\sqrt{3},\,0)\quad\text{e}\quad (3-\sqrt{3},\,0).
Qual está mais próximo da origem? Como ambos têm y=0, a distância ao ponto (0,0) é |x|. Calculando aproximadamente:
3-\sqrt{3}\approx 1{,}268\quad\text{e}\quad 3+\sqrt{3}\approx 4{,}732,
o menor valor absoluto é 3-\sqrt{3}. Portanto o ponto pedido é
P=\bigl(3-\sqrt{3},\,0\bigr).
Agora a reta tangente: fato importante (aula rápida): para uma circunferência, o raio até o ponto de tangência é perpendicular à reta tangente. Assim o vetor normal à tangente em P é o vetor do centro O_C=(3,1) até P, isto é
\vec{n}=P - O_C = \bigl(3-\sqrt{3}-3,\;0-1\bigr)=(-\sqrt{3},\;-1).
Uma reta com vetor normal (a,b) tem equação a(x-x_0)+b(y-y_0)=0 se passar por (x_0,y_0). Aqui (x_0,y_0)=\bigl(3-\sqrt{3},0\bigr) e (a,b)=(-\sqrt{3},-1). Portanto:
-\sqrt{3}\bigl(x-(3-\sqrt{3})\bigr) -1\bigl(y-0\bigr)=0.
Multiplicando por -1 para simplificar:
\sqrt{3}\bigl(x-(3-\sqrt{3})\bigr) + y = 0.
Expandindo:
\sqrt{3}\,x - \sqrt{3}(3-\sqrt{3}) + y = 0.
Calcule \sqrt{3}(3-\sqrt{3})=3\sqrt{3}-3. Então:
\sqrt{3}\,x - (3\sqrt{3}-3) + y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = -\sqrt{3}\,x + 3\sqrt{3} - 3.
Essa é a equação da reta tangente à circunferência em P.

Resposta

y=-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{1}{5}
(x-3)^2+(y-1)^2=4
y=-\sqrt{3}\,x+3\sqrt{3}-3

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