São dados os pontos no plano cartesiano P_{1}=(3 ; 3), P_{2}=(5 ; 1), P_{3}=(3 ;-1) e P_{4}=(-2 ; 5).
a) Determine a equação da reta que passa por P_{3} e é paraleta à reta que passa por P_{1} \in P_{4}.
b) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos P_{1}, P_{2} e P_{3}.
c) Sendo C a circunferência do item (b) e P o ponto de interseção de C com o eixo Ox , que está mais próximo da origem, determine a equação da reta tangente a C em P.
Passo 1
O enunciado dá os pontos no plano cartesiano:
P_{1}=(3;3)
P_{2}=(5;1)
P_{3}=(3;-1)
P_{4}=(-2;5)
O que é pedido:
a) Determinar a equação da reta que passa por P_{3} e é paralela à reta que passa por P_{1} e P_{4}.
b) Determinar a equação da circunferência que passa por P_{1},P_{2},P_{3}.
c) Seja C a circunferência do item (b). Seja P o ponto de interseção de C com o eixo Ox que está mais próximo da origem. Determinar a equação da reta tangente a C em P.
Passo 2
(a) Entendendo paralelismo e declividade (aula rápida): duas retas são paralelas se têm a mesma inclinação (mesmo coeficiente angular). O coeficiente angular entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dado por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
desde que x_2\neq x_1. Vou calcular a inclinação da reta que passa por P_{1} e P_{4} e então usar essa inclinação para a reta que precisa passar por P_{3}.
Calcule a inclinação entre P_{1}=(3;3) e P_{4}=(-2;5):
m=\frac{5-3}{-2-3}=\frac{2}{-5}=-\frac{2}{5}.
Assim a reta pedida terá coeficiente angular -\dfrac{2}{5} e passa por P_{3}=(3;-1). Use a forma ponto-declive da reta:
(b) Para achar a circunferência que passa por três pontos não colineares, vou usar a forma geral expandida da circunferência e resolver um sistema linear. Forma centrada:
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2,
onde (h,k) é o centro e r o raio. Expandindo:
x^2-2hx+h^2+y^2-2ky+k^2=r^2.
Reagrupando os termos dependentes de x e y:
x^2+y^2 + (-2h)x + (-2k)y + (h^2+k^2-r^2)=0.
Defino constantes A=-2h,\;B=-2k,\;C=h^2+k^2-r^2. Então para cada ponto (x,y) vale
o menor valor absoluto é 3-\sqrt{3}. Portanto o ponto pedido é
P=\bigl(3-\sqrt{3},\,0\bigr).
Agora a reta tangente: fato importante (aula rápida): para uma circunferência, o raio até o ponto de tangência é perpendicular à reta tangente. Assim o vetor normal à tangente em P é o vetor do centro O_C=(3,1) até P, isto é
Uma reta com vetor normal (a,b) tem equação a(x-x_0)+b(y-y_0)=0 se passar por (x_0,y_0). Aqui (x_0,y_0)=\bigl(3-\sqrt{3},0\bigr) e (a,b)=(-\sqrt{3},-1). Portanto: