Questão 4 [3 pontos]
Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial com derivadas de segunda ordem:
y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=0, \qquad y(0)=1, \qquad y^{\prime}(0)=2.
O que é pedido: encontrar a função y(t) (a variável independente chamei de t) que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Ideia básica (por que tentar exponenciais): para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes, é natural tentar soluções do tipo \,y(t)=e^{rt}\, porque a derivada de e^{rt} é proporcional a e^{rt} (derivadas apenas multiplicam por r). Isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r, chamada equação característica. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Substituindo y(t)=e^{rt} na equação, as derivadas ficam y'(t)=r e^{rt} e y''(t)=r^{2}e^{rt}. Inserindo na equação:
r^{2}e^{rt}+3r e^{rt}+2e^{rt}=0.
Como e^{rt}\neq0 para todo t, podemos dividir por e^{rt} e obter a equação característica:
r^{2}+3r+2=0.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática \,r^{2}+3r+2=0\,. Podemos fatorar:
r^{2}+3r+2=(r+1)(r+2)=0,
portanto as raízes são r_{1}=-1 e r_{2}=-2. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial homogênea é
y(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t},
ou seja
y(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais. (Breve explicação: e^{-t} e e^{-2t} são soluções independentes e qualquer combinação linear delas também é solução.)

Passo 5

Usar a condição y(0)=1. Substituindo t=0 na forma geral:
y(0)=C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}=C_{1}+C_{2}=1.
Portanto obtemos a primeira equação para as constantes:
C_{1}+C_{2}=1.

Passo 6

Calcular y'(t) e usar a condição y'(0)=2. Derivando a forma geral:
y'(t)=-C_{1}e^{-t}-2C_{2}e^{-2t}.
Agora t=0
y'(0)=-C_{1}-2C_{2}=2.
Essa é a segunda equação para C_{1} e C_{2}:
-C_{1}-2C_{2}=2.

Passo 7

Resolver o sistema linear
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] -C_{1}-2C_{2}=2. \end{cases}
Somando as duas equações para eliminar C_{1}:
(C_{1}-C_{1})+(C_{2}-2C_{2})=1+2 \quad\Rightarrow\quad -C_{2}=3.
Logo
C_{2}=-3.
Substituindo em C_{1}+C_{2}=1:
C_{1}-3=1 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=4.]

Resposta

y(t)=4e^{-t}-3e^{-2t}

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