Questão 4 [3 pontos]
Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial
Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial com derivadas de segunda ordem:
O que é pedido: encontrar a função
(a variável independente chamei de
) que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Ideia básica (por que tentar exponenciais): para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes, é natural tentar soluções do tipo
porque a derivada de
é proporcional a
(derivadas apenas multiplicam por
). Isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
, chamada equação característica. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Substituindo
na equação, as derivadas ficam
e
. Inserindo na equação:
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
. Podemos fatorar:
portanto as raízes são
e
. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial homogênea é
ou seja
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. (Breve explicação:
e
são soluções independentes e qualquer combinação linear delas também é solução.)
Passo 5
Usar a condição
. Substituindo
na forma geral:
Portanto obtemos a primeira equação para as constantes:
Passo 6
Calcular
e usar a condição
. Derivando a forma geral:
Agora
dá
Essa é a segunda equação para
e
:
Passo 7
Resolver o sistema linear
Somando as duas equações para eliminar
:
Logo
Substituindo em
: