Questão 3: [2,5 pts] Um cilindro longo possui uma densidade de carga volumétrica constante
positiva e um raio
. Um fio longo, paralelo ao cilindro e com densidade de carga linear
, está a uma distância
do eixo do cilindro. Qual deve ser o valor de
para que o campo elétrico no ponto
, que está a uma distância
do eixo do cilindro, seja nulo? Todas as distâncias são medidas na direção ortogonal do eixo do cilindro.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas as distâncias são medidas na direção ortogonal ao eixo do cilindro):
- Cilindro longo de raio
com densidade de carga volumétrica constante e positiva . - Fio longo, paralelo ao eixo do cilindro, com densidade de carga linear
, cujo eixo está a uma distância do eixo do cilindro, com . - Ponto
situado a uma distância do eixo do cilindro.
O que se pede: - Determinar o valor de
de modo que o campo elétrico total em seja nulo.
Passo 2
Posicionamento e escolha geométrica (importante para a direção dos campos).
- Coloco o eixo do cilindro no eixo
em (ou seja, centro do cilindro na origem do plano transversal). - Suponho que o fio está paralelo ao eixo e tem seu eixo em
. - Assumo que o ponto
está na mesma linha radial que liga os dois eixos (isto é, em , com ), no segmento entre o eixo do cilindro e o fio. Essa posição é a natural a considerar porque, para obter campo total nulo, os dois campos (do cilindro e do fio) precisam ser colineares e apontar em sentidos opostos; isso acontece quando está exatamente na linha que liga os dois eixos, do lado do cilindro voltado para o fio. - A distância do fio até
é, portanto, (positiva porque ).
Passo 3
Campo elétrico produzido pelo cilindro, em um ponto interno a
(aula rápida usando Lei de Gauss).
- Para um cilindro infinito com densidade volumétrica uniforme
, considere uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio e comprimento , com . - A carga contida nessa superfície é
. - O fluxo elétrico através da superfície lateral é
porque o campo é radial e constante sobre a lateral. - Pela Lei de Gauss:
. Assim
- Cancelando
e um fator obtemos a expressão para o módulo do campo dentro do cilindro:
- Aplicando em
, o campo do cilindro em (módulo) é
Explicação física rápida: dentro do cilindro o campo cresce linearmente com a distância ao eixo porque apenas a carga interna até
contribui.
Passo 4
Campo elétrico produzido pelo fio longo em distância
(aula rápida usando Lei de Gauss para linha infinita).
- Para um fio carregado linearmente com densidade
, a superfície gaussiana adequada é um cilindro coaxial de raio e comprimento . - A carga contida é
e o fluxo é . - Pela Lei de Gauss:
- Cancelando
obtemos a expressão conhecida do módulo do campo de uma linha infinita:
- No nosso caso, a distância do fio até
é , então
Passo 5
Condições de cancelamento vetorial e equação para
.
- Em
os dois campos são colineares e apontam em sentidos opostos: o campo do cilindro em aponta radialmente para fora do eixo do cilindro (para a direita, se está entre eixo e fio) e o campo do fio, por ser positiva a carga do fio, aponta para a esquerda em . Para anular o campo total, os módulos devem ser iguais:
- Substituindo as fórmulas dos passos anteriores:
Passo 6
Isolando
e simplificando.
- Multiplicando ambos os lados por
e simplificando obtemos
- Observações sobre o sinal e interpretação: com
e a expressão dá , ou seja, a densidade linear do fio deve ser positiva para que, na posição considerada de , os campos tenham sentidos opostos e possam se cancelar. Se a posição angular de fosse diferente (por exemplo do outro lado do eixo), a geometria muda (distância ao fio seria ) e o sinal/valor exigido poderia mudar — mas o enunciado, ao fixar distâncias ortogonais e pedir o para que o campo em seja nulo, corresponde ao caso tratado aqui.