Questão 3: [2,5 pts] Um cilindro longo possui uma densidade de carga volumétrica constante \rho positiva e um raio R. Um fio longo, paralelo ao cilindro e com densidade de carga linear \lambda, está a uma distância d>R do eixo do cilindro. Qual deve ser o valor de \lambda para que o campo elétrico no ponto P, que está a uma distância r_{0}<R do eixo do cilindro, seja nulo? Todas as distâncias são medidas na direção ortogonal do eixo do cilindro.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas as distâncias são medidas na direção ortogonal ao eixo do cilindro):
  • Cilindro longo de raio R com densidade de carga volumétrica constante e positiva \rho.
  • Fio longo, paralelo ao eixo do cilindro, com densidade de carga linear \lambda, cujo eixo está a uma distância d do eixo do cilindro, com d>R.
  • Ponto P situado a uma distância r_{0}<R do eixo do cilindro.
    O que se pede:
  • Determinar o valor de \lambda de modo que o campo elétrico total em P seja nulo.

Passo 2

Posicionamento e escolha geométrica (importante para a direção dos campos).
  • Coloco o eixo do cilindro no eixo x em x=0 (ou seja, centro do cilindro na origem do plano transversal).
  • Suponho que o fio está paralelo ao eixo e tem seu eixo em x=d>R.
  • Assumo que o ponto P está na mesma linha radial que liga os dois eixos (isto é, em x=r_{0}, com 0<r_{0}<R), no segmento entre o eixo do cilindro e o fio. Essa posição é a natural a considerar porque, para obter campo total nulo, os dois campos (do cilindro e do fio) precisam ser colineares e apontar em sentidos opostos; isso acontece quando P está exatamente na linha que liga os dois eixos, do lado do cilindro voltado para o fio.
  • A distância do fio até P é, portanto, s = d - r_{0} (positiva porque d>r_{0}).

Passo 3

Campo elétrico produzido pelo cilindro, em um ponto interno a r<R (aula rápida usando Lei de Gauss).
  • Para um cilindro infinito com densidade volumétrica uniforme \rho, considere uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L, com r<R.
  • A carga contida nessa superfície é \,Q_{\text{int}}=\rho\cdot (\text{volume})=\rho\cdot (\pi r^{2}L).
  • O fluxo elétrico através da superfície lateral é \Phi = E(r)\cdot (2\pi r L) porque o campo é radial e constante sobre a lateral.
  • Pela Lei de Gauss: \Phi = Q_{\text{int}}/\varepsilon_{0}. Assim
E(r)\,2\pi r L = \frac{\rho\,\pi r^{2}L}{\varepsilon_{0}}.
  • Cancelando \pi L e um fator r obtemos a expressão para o módulo do campo dentro do cilindro:
E_{\text{cil}}(r)=\frac{\rho\,r}{2\varepsilon_{0}}.
  • Aplicando em r=r_{0}, o campo do cilindro em P (módulo) é
E_{\text{cil}}(r_{0})=\frac{\rho\,r_{0}}{2\varepsilon_{0}}.
Explicação física rápida: dentro do cilindro o campo cresce linearmente com a distância ao eixo porque apenas a carga interna até r contribui.

Passo 4

Campo elétrico produzido pelo fio longo em distância s (aula rápida usando Lei de Gauss para linha infinita).
  • Para um fio carregado linearmente com densidade \lambda, a superfície gaussiana adequada é um cilindro coaxial de raio s e comprimento L.
  • A carga contida é Q=\lambda L e o fluxo é E_{\text{fio}}(s)\cdot(2\pi s L).
  • Pela Lei de Gauss:
E_{\text{fio}}(s)\,2\pi s L=\frac{\lambda L}{\varepsilon_{0}}.
  • Cancelando L obtemos a expressão conhecida do módulo do campo de uma linha infinita:
E_{\text{fio}}(s)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,s}.
  • No nosso caso, a distância do fio até P é s=d-r_{0}, então
E_{\text{fio}}(d-r_{0})=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,(d-r_{0})}.

Passo 5

Condições de cancelamento vetorial e equação para \lambda.
  • Em P os dois campos são colineares e apontam em sentidos opostos: o campo do cilindro em P aponta radialmente para fora do eixo do cilindro (para a direita, se P está entre eixo e fio) e o campo do fio, por ser positiva a carga do fio, aponta para a esquerda em P. Para anular o campo total, os módulos devem ser iguais:
E_{\text{cil}}(r_{0}) = E_{\text{fio}}(d-r_{0}).
  • Substituindo as fórmulas dos passos anteriores:
\frac{\rho\,r_{0}}{2\varepsilon_{0}}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,(d-r_{0})}.

Passo 6

Isolando \lambda e simplificando.
  • Multiplicando ambos os lados por 2\pi\varepsilon_{0}\,(d-r_{0}) e simplificando obtemos
\lambda = \pi\,\rho\,r_{0}\,(d-r_{0}).
  • Observações sobre o sinal e interpretação: com \rho>0 e d>r_{0} a expressão dá \lambda>0, ou seja, a densidade linear do fio deve ser positiva para que, na posição considerada de P, os campos tenham sentidos opostos e possam se cancelar. Se a posição angular de P fosse diferente (por exemplo do outro lado do eixo), a geometria muda (distância ao fio seria d+r_{0}) e o sinal/valor exigido poderia mudar — mas o enunciado, ao fixar distâncias ortogonais e pedir o \lambda para que o campo em P seja nulo, corresponde ao caso tratado aqui.

Resposta

\displaystyle \lambda = \pi\,\rho\,r_{0}\,(d-r_{0})

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