Questão 1. [2 pts] Uma placa retangular de comprimento a, largura b e massa m que rotaciona com velocidade angular v / r ao redor de um eixo que passa exatamente pelo seu centro possui momento angular dado por
L_{z}=I \frac{v}{r}, \quad \text { com } \quad I=\frac{1}{12} m\left(a^{2}+b^{2}\right) .
Determine a dimensão física de L_{z}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a dimensão física de L_{z}.
As informações dadas são:
L_{z}=I\frac{v}{r},
com
I=\frac{1}{12}\,m\bigl(a^{2}+b^{2}\bigr).
Aqui m é a massa da placa, a e b são comprimentos (lados do retângulo), v é uma velocidade linear e r é um comprimento (raio). Não se pede cálculo numérico, apenas a dimensão física de L_{z}.

Passo 2

O que significa “dimensão física”?
Dimensão física de uma grandeza é a combinação das dimensões fundamentais (massa, comprimento, tempo, …) que caracterizam essa grandeza. Usamos a notação [\cdot] para indicar dimensão. As dimensões fundamentais que vamos usar são: massa M, comprimento L e tempo T. Por exemplo, a dimensão de uma massa m é [m]=M; a de um comprimento a é [a]=L; a de uma velocidade v é [v]=L\,T^{-1}.

Passo 3

Dimensão do momento de inércia I.
O fator 1/12 é adimensional (sem dimensão). Na expressão
I=\frac{1}{12}\,m\bigl(a^{2}+b^{2}\bigr),
temos m com dimensão M e a^{2} e b^{2} com dimensão L^{2}. A soma a^{2}+b^{2} tem dimensão L^{2}. Portanto
[I]=M\,L^{2}.

Passo 4

Dimensão do fator \dfrac{v}{r}.
A velocidade v tem dimensão L\,T^{-1}. O raio r tem dimensão L. Logo
\left[\frac{v}{r}\right]=\frac{L\,T^{-1}}{L}=T^{-1}.

Passo 5

Dimensão de L_{z} multiplicando as duas peças.
Como L_{z}=I\,(v/r), suas dimensões são o produto das dimensões de I e de v/r:
[L_{z}]=[I]\left[\frac{v}{r}\right]=\bigl(M\,L^{2}\bigr)\bigl(T^{-1}\bigr)=M\,L^{2}\,T^{-1}.

Passo 6

Verificação e interpretação física rápida (útil para a prova).
Angularmente, L_{z} tem a mesma dimensão de r\times p, onde p é o momento linear ( p= m v com dimensão M\,L\,T^{-1}). Multiplicando por r (dimensão L) dá M\,L^{2}\,T^{-1}, coerente com o resultado acima. Em unidades SI isso corresponde a \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}. Força extra: recordar esse padrão ajuda muito em exercícios de análise dimensional na prova.

Resposta

[L_{z}]=M\,L^{2}\,T^{-1}
Unidades SI: \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}

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