Uma placa condutora retangular de comprimento L=40 \mathrm{~cm} e largura h=10 \mathrm{~cm} desliza sobre trilhos condutores horizontais, formando um circuito fechado com uma resistência total de R=2,0 \Omega. Todo o sistema está imerso em um campo magnético uniforme \vec{B}=0,50 \mathrm{~T}, orientado perpendicularmente para dentro da página. A placa se move com velocidade constante v=3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ao longo da direção do comprimento L, de modo que atravessa a região do campo magnético com essa velocidade constante.
(a) Calcule a força eletromotriz (fem) induzida, \varepsilon, na placa devido ao movimento no campo magnético.
(b) Determine a corrente, i, induzida no circuito e indique seu sentido (horário ou anti-horário), justificando sua resposta com base na lei de Lenz. Dica: Utilize a regra da mão direita.
(c) Determine a potência dissipada na resistência do circuito e discuta a origem dessa energia no contexto da conservação de energia.

Passo 1

Vamos identificar direitinho o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
L=40\\ \text{cm}=0{,}40\\ \text{m},
h=10\\ \text{cm}=0{,}10\\ \text{m},
B=0{,}50\\ \text{T},
v=3{,}0\\ \text{m/s},
R=2{,}0\\ \Omega.
O que o enunciado pergunta:
(a) Calcular a força eletromotriz (fem) induzida \varepsilon na placa devido ao movimento no campo magnético.
(b) Determinar a corrente i induzida no circuito e indicar seu sentido (horário ou anti-horário), justificando com a lei de Lenz (dica: regra da mão direita).
(c) Determinar a potência dissipada na resistência do circuito e discutir de onde vem essa energia (conservação de energia).
Observação sobre a geometria (usada nas contas): a placa desliza ao longo da direção do comprimento L e liga dois trilhos separados pela largura h. A separação entre os trilhos é, portanto, h — essa é a “distância” que participa da fem motora.

Passo 2

Entendendo e calculando a fem motora (motional emf).
A ideia física: cargas na placa movem-se com velocidade \vec{v} através do campo magnético \vec{B}. Cada carga sofre a força de Lorentz \vec{F}=q(\vec{v}\times\vec{B}), que tende a separar cargas ao longo da dimensão do condutor perpendicular a \vec{v} e \vec{B}. Essa separação cria uma diferença de potencial entre os trilhos — a fem motora.
Fórmula geral (derivação curta e intuitiva): a fem motora entre dois pontos separados por um segmento de comprimento \ell dentro do campo é
\varepsilon=\int (\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{\ell}.
Se \vec{v} é perpendicular a \vec{B} e o segmento \ell está perpendicular tanto a \vec{v} quanto a \vec{B}, a integral reduz-se a
\varepsilon=B\,v\,\ell,
onde:
  • B é a magnitude do campo magnético,
  • v é a velocidade da placa,
  • \ell é o comprimento do segmento que “vê” a separação de cargas (no nosso caso, a separação entre trilhos), isto é, \ell=h.
Aplicando ao problema:
\varepsilon=B\,v\,h.
Substituindo números:
\varepsilon=0{,}50\cdot 3{,}0\cdot 0{,}10=0{,}15\\ \text{V}.

Passo 3

Cálculo da corrente induzida e determinação do sentido (com justificativa).
A corrente no circuito, pela Lei de Ohm, é
i=\frac{\varepsilon}{R}.
Substituindo:
i=\frac{0{,}15}{2{,}0}=0{,}075\\ \text{A}.
Agora o sentido. Vou explicar de duas formas compatíveis (regra da mão direita / força de Lorentz e Lei de Lenz):
  1. Regra da mão direita / força de Lorentz (intuitivo e direto):
  • A velocidade da placa está para a direita (digamos), \vec{v} para a direita.
  • O campo magnético está para dentro da página ( \vec{B} para dentro).
  • Para uma carga positiva, \vec{F}=q(\vec{v}\times\vec{B}). Usando a regra da mão direita, \vec{v}\times\vec{B} aponta para cima (do trilho inferior para o superior). Portanto as cargas positivas são empurradas para cima no trecho móvel, isto é, a corrente convencional no trecho móvel é do trilho inferior para o trilho superior.
  • Seguindo o circuito, isso corresponde a um sentido anti-horário (anti‑clockwise) visto de frente (subo no lado móvel, então pelo topo vou da direita para a esquerda, desço no lado oposto e volto pela parte inferior da esquerda para a direita).
  1. Lei de Lenz (caso a superfície esteja entrando na região de campo):
  • Se a área imersa no campo está aumentando (placa entrando), o fluxo magnético para dentro da página aumenta. A corrente induzida tentará criar um campo que se oponha ao aumento, ou seja, criará um campo para fora da página.
  • Pela regra prática (polegar aponta campo gerado, dedos circulam na direção da corrente), um campo para fora da página é produzido por uma corrente anti-horária. Logo, sentido anti-horário.
  • Estes dois raciocínios concordam e justificam o sentido.
Conclusão: i=0{,}075\\ \text{A} no sentido anti-horário.

Passo 4

Potência dissipada na resistência e origem da energia (conservação).
Potência dissipada por efeito Joule:
P=i^{2}R.
Substituindo números:
P=(0{,}075)^{2}\cdot 2{,}0=0{,}01125\\ \text{W}\approx 0{,}0113\\ \text{W}.
Verificação alternativa (mesma coisa):
P=\varepsilon\,i=0{,}15\cdot 0{,}075=0{,}01125\\ \text{W}.
Origem dessa energia (explicação física, conservação de energia):
  • O circuito com corrente interage com o campo magnético: a corrente no segmento móvel sente uma força magnética (força de Laplace) que se opõe ao movimento. Para manter a velocidade constante, é necessária uma força externa que vença essa força magnética. Essa força externa realiza trabalho mecânico.
  • A potência fornecida mecanicamente pela força externa é exatamente a potência elétrica dissipada na resistência (conservação de energia).
  • Podemos calcular a força magnética sobre o segmento móvel: a força de módulo é
F_{\text{mag}}=i\,h\,B.
Substituindo:
F_{\text{mag}}=0{,}075\cdot 0{,}10\cdot 0{,}50=0{,}00375\\ \text{N},
direcionada contrária ao movimento. A potência mecânica dissipada é
P_{\text{mec}}=F_{\text{mag}}\,v=0{,}00375\cdot 3{,}0=0{,}01125\\ \text{W},
que coincide com P calculada acima. Assim, a energia elétrica dissipada em calor vem do trabalho mecânico realizado pela força externa que mantém a placa em movimento uniforme.

Resposta

(a) \varepsilon=0{,}15\\ \text{V}
(b) i=0{,}075\\ \text{A}, sentido anti‑horário (ver justificativa por Lenz / regra da mão direita)
(c) P=0{,}0113\\ \text{W}. A energia dissipada vem do trabalho mecânico realizado pela força externa que vence a força magnética, de modo que a potência mecânica fornecida é convertida em calor no resistor.

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