QUESTÃO 20

Considere uma função p(t)=e(t) . f(t), sendo e(t)=a . q(t), com a= cte, e q(t)=\int f(t) \mathrm{d} t. Então, é correto afirmar que a função g(t)=\int p(t) \mathrm{d} t é dada por
(A) 1 / 2 a . q^{2}
(B) 1 / 2 a \cdot f^{2}
(C) 1 / 2 a \cdot e^{2}
(D) 1 / 2 a \cdot p^{2}
(E) 1 / 2 a \cdot g^{2}

Passo 1

O enunciado define \displaystyle p(t)=e(t)\,f(t),
com \displaystyle e(t)=a\;q(t) (onde a é constante)
e \displaystyle q(t)=\int f(t)\,\mathrm{d}t.
Pede-se g(t)=\displaystyle\int p(t)\,\mathrm{d}t.
Conteúdo: integração de produto que reconhece a derivada de q^2.

Passo 2

Observe que \displaystyle f(t)=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.
Logo
p(t)=e(t)\,f(t) = \bigl(a\,q(t)\bigr)\,\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = a\,q(t)\,\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.

Passo 3

Para encontrar g(t), integramos p(t):
g(t)=\int p(t)\,\mathrm{d}t = a\int q(t)\,\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t.
Fazendo a substituição u=q(t), temos \mathrm{d}u=\mathrm{d}q=(\mathrm{d}q/\mathrm{d}t)\,\mathrm{d}t.

Passo 4

A integral fica
g(t) = a\int u\,\mathrm{d}u = a\;\frac{u^2}{2} = \frac{a}{2}\,q^2(t) +\!C.
Desprezando a constante de integração, obtemos a forma pedida.

Resposta

(A) \displaystyle \tfrac12\,a\,q^2

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