Questão 20. (EPCAr) Em um prédio de 90 andares, numerados de 1 a 90 , sem contar o térreo, existem 4 elevadores que são programados para atender apenas determinados andares.
Assim, o elevador:
  • O para nos andares múltiplos de 11
  • S para nos andares múltiplos de 7
  • C para nos andares múltiplos de 5
  • T para em todos os andares.
Todos estes elevadores partem do andar térreo e funcionam perfeitamente de acordo com sua programação.
Analise as afirmativas abaixo, classificando cada uma em V (verdadeira) ou F (falsa).
( ) No último andar para apenas 1 elevador.
( ) Não há neste prédio um andar em que parem todos os elevadores, com exceção do próprio térreo.
( ) Existem, neste prédio, 4 andares em que param 3 elevadores com exceção do próprio térreo.

Passo 1

Enunciado e informações dadas (o que o problema pergunta e quais dados temos):
  • O prédio tem \,90\, andares numerados de \,1 a \,90 (não contamos o térreo).
  • Há quatro elevadores com as programações:
    • O para nos andares múltiplos de \,11.
    • S para nos andares múltiplos de \,7.
    • C para nos os andares múltiplos de \,5.
    • T para em todos os andares.
  • Todos partem do térreo; queremos analisar apenas os andares \,1 a \,90 (ou seja, “com exceção do próprio térreo”).
As três afirmativas a classificar como Verdadeira (V) ou Falsa (F) (na ordem em que aparecem no enunciado):
  1. “No último andar para apenas 1 elevador.” (isto é, no andar \,90 só para um elevador)
  2. “Não há neste prédio um andar em que parem todos os elevadores, com exceção do próprio térreo.” (isto é, não existe n\in\{1,\dots,90\} tal que n seja múltiplo de 11, 7 e 5 simultaneamente)
  3. “Existem, neste prédio, 4 andares em que param 3 elevadores com exceção do próprio térreo.” (isto é, existem exatamente quatro andares em \{1,\dots,90\} onde param exatamente três dos quatro elevadores)

Passo 2

Conceitos e estratégia — como vamos checar cada afirmativa (aula rápida e prática).
  • Definição de “múltiplo”: um inteiro n é múltiplo de k se k divide n (escrevemos k\mid n). Por exemplo, 90 é múltiplo de 5 porque 5\mid90.
  • Como contar quantos múltiplos de um número k existem entre \,1 e \,90: usamos \left\lfloor\frac{90}{k}\right\rfloor. Ex.: número de múltiplos de \,5 é \left\lfloor\frac{90}{5}\right\rfloor=18 (são 5,10,\dots,90).
  • Para saber se um andar tem dois ou três elevadores (além de T), verificamos se o número é múltiplo de combinações de 11,7,5. Para que dois desses três elevadores (O,S,C) parem num mesmo andar, esse andar deve ser múltiplo do mínimo múltiplo comum (MMC, ou \mathrm{lcm}) da respectiva dupla. Por exemplo, andares onde param O e S são múltiplos de \mathrm{lcm}(11,7)=77.
  • Para que os três O, S e C parem juntos num andar, o andar tem que ser múltiplo de \mathrm{lcm}(11,7,5).
  • Observação útil: T para em todos os andares, então:
    • um andar onde param exatamente 1 elevador significaria: só T (nenhum dos outros três).
    • um andar onde param exatamente 2 elevadores significa: T mais exatamente um dentre O,S,C.
    • um andar onde param exatamente 3 elevadores significa: T mais exatamente dois dentre O,S,C.
    • um andar onde param 4 elevadores significa: T e os três O,S,C (ou seja, múltiplo da \mathrm{lcm} dos três).
Com isso, vamos checar cada afirmativa de forma objetiva.

Passo 3

Verificação da afirmativa 1: “No último andar para apenas 1 elevador.”
  • O “último andar” é o andar \,90.
  • Verificamos se \,90 é múltiplo de \,11, \,7 ou \,5:
    90 \div 11 = 8\text{, resto }2 \quad\Rightarrow\quad 11\nmid 90.
90 \div 7 = 12\text{, resto }6 \quad\Rightarrow\quad 7\nmid 90.
90 \div 5 = 18\text{, resto }0 \quad\Rightarrow\quad 5\mid 90.
  • Conclusão: nos andares \,90 param o elevador C (múltiplo de 5) e o elevador T (que para em todos os andares). Logo, param 2 elevadores nesse andar, não apenas 1.
  • Portanto a afirmativa 1 é FALSA.

Passo 4

Verificação da afirmativa 2: “Não há neste prédio um andar em que parem todos os elevadores, com exceção do próprio térreo.”
  • Para que todos os quatro elevadores parem num mesmo andar n\in\{1,\dots,90\}, é necessário que n seja múltiplo de 11, de 7 e de 5 simultaneamente.
  • Isso equivale a pedir que n seja múltiplo de
    \mathrm{lcm}(11,7,5).
  • Calculamos a \mathrm{lcm}: como 11,7,5 são primos entre si, temos
    \mathrm{lcm}(11,7,5)=11\cdot7\cdot5=385.
  • Como 385>90, não existe nenhum n entre 1 e 90 que seja múltiplo de 385. Logo, não há andar (fora o térreo) onde parem os quatro ao mesmo tempo.
  • Portanto a afirmativa 2 é VERDADEIRA.

Passo 5

Verificação da afirmativa 3: “Existem, neste prédio, 4 andares em que param 3 elevadores com exceção do próprio térreo.”
  • Lembrete: T para sempre, então “3 elevadores” significa exatamente T mais dois dentre \{11,7,5\}. Equivalente: andares que são múltiplos do \mathrm{lcm} de alguma dupla entre \,11,7,5, mas que não sejam múltiplos dos três ao mesmo tempo. Em forma prática, contamos múltiplos de cada \mathrm{lcm} de pares e subtraímos os que são múltiplos de todos os três (se existissem).
  • Calculemos os \mathrm{lcm} das três pares:
    \mathrm{lcm}(11,7)=77,\qquad \mathrm{lcm}(11,5)=55,\qquad \mathrm{lcm}(7,5)=35.
  • Agora contamos quantos múltiplos de cada um existem entre 1 e 90:
    \left\lfloor\frac{90}{77}\right\rfloor = 1 \quad\text{(o andar }77\text{)},
\left\lfloor\frac{90}{55}\right\rfloor = 1 \quad\text{(o andar }55\text{)},
\left\lfloor\frac{90}{35}\right\rfloor = 2 \quad\text{(os andares }35\text{ e }70\text{)}.
  • Soma inicial: 1+1+2=4 andares que são múltiplos de alguma \mathrm{lcm} de par.
  • Agora verificamos se algum desses é múltiplo dos três simultaneamente (isto é, múltiplo de \mathrm{lcm}(11,7,5)=385). Como já vimos, 385>90, portanto nenhum dos andares listados é múltiplo dos três ao mesmo tempo. Assim não há necessidade de excluir nenhum por ser múltiplo dos três.
  • Portanto existem exatamente 4 andares em \{1,\dots,90\} onde param exatamente 3 elevadores (são \,35,55,70,77), o que confirma a afirmativa.
  • Conclusão: a afirmativa 3 é VERDADEIRA.

Resposta

F
V
V

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