Questão 20. (EPCAr) Em um prédio de 90 andares, numerados de 1 a 90 , sem contar o térreo, existem 4 elevadores que são programados para atender apenas determinados andares.
Assim, o elevador:
- O para nos andares múltiplos de 11
- S para nos andares múltiplos de 7
- C para nos andares múltiplos de 5
- T para em todos os andares.
Todos estes elevadores partem do andar térreo e funcionam perfeitamente de acordo com sua programação.
Analise as afirmativas abaixo, classificando cada uma em V (verdadeira) ou F (falsa).
( ) No último andar para apenas 1 elevador.
( ) Não há neste prédio um andar em que parem todos os elevadores, com exceção do próprio térreo.
( ) Existem, neste prédio, 4 andares em que param 3 elevadores com exceção do próprio térreo.
Assim, o elevador:
Analise as afirmativas abaixo, classificando cada uma em V (verdadeira) ou F (falsa).
( ) No último andar para apenas 1 elevador.
( ) Não há neste prédio um andar em que parem todos os elevadores, com exceção do próprio térreo.
( ) Existem, neste prédio, 4 andares em que param 3 elevadores com exceção do próprio térreo.
Passo 1
Enunciado e informações dadas (o que o problema pergunta e quais dados temos):
- O prédio tem
andares numerados de a (não contamos o térreo). - Há quatro elevadores com as programações:
- O para nos andares múltiplos de
. - S para nos andares múltiplos de
. - C para nos os andares múltiplos de
. - T para em todos os andares.
- O para nos andares múltiplos de
- Todos partem do térreo; queremos analisar apenas os andares
a (ou seja, “com exceção do próprio térreo”).
As três afirmativas a classificar como Verdadeira (V) ou Falsa (F) (na ordem em que aparecem no enunciado):
-
“No último andar para apenas 1 elevador.” (isto é, no andar
só para um elevador) -
“Não há neste prédio um andar em que parem todos os elevadores, com exceção do próprio térreo.” (isto é, não existe
tal que seja múltiplo de , e simultaneamente) -
“Existem, neste prédio, 4 andares em que param 3 elevadores com exceção do próprio térreo.” (isto é, existem exatamente quatro andares em
onde param exatamente três dos quatro elevadores)
Passo 2
Conceitos e estratégia — como vamos checar cada afirmativa (aula rápida e prática).
-
Definição de “múltiplo”: um inteiro
é múltiplo de se divide (escrevemos ). Por exemplo, é múltiplo de porque . -
Como contar quantos múltiplos de um número
existem entre e : usamos . Ex.: número de múltiplos de é (são ). -
Para saber se um andar tem dois ou três elevadores (além de T), verificamos se o número é múltiplo de combinações de
. Para que dois desses três elevadores (O,S,C) parem num mesmo andar, esse andar deve ser múltiplo do mínimo múltiplo comum (MMC, ou ) da respectiva dupla. Por exemplo, andares onde param O e S são múltiplos de . -
Para que os três O, S e C parem juntos num andar, o andar tem que ser múltiplo de
. -
Observação útil: T para em todos os andares, então:
- um andar onde param exatamente 1 elevador significaria: só T (nenhum dos outros três).
- um andar onde param exatamente 2 elevadores significa: T mais exatamente um dentre O,S,C.
- um andar onde param exatamente 3 elevadores significa: T mais exatamente dois dentre O,S,C.
- um andar onde param 4 elevadores significa: T e os três O,S,C (ou seja, múltiplo da
dos três).
Com isso, vamos checar cada afirmativa de forma objetiva.
Passo 3
Verificação da afirmativa 1: “No último andar para apenas 1 elevador.”
-
O “último andar” é o andar
. -
Verificamos se
é múltiplo de , ou :
-
Conclusão: nos andares
param o elevador C (múltiplo de ) e o elevador T (que para em todos os andares). Logo, param 2 elevadores nesse andar, não apenas 1. -
Portanto a afirmativa 1 é FALSA.
Passo 4
Verificação da afirmativa 2: “Não há neste prédio um andar em que parem todos os elevadores, com exceção do próprio térreo.”
-
Para que todos os quatro elevadores parem num mesmo andar
, é necessário que seja múltiplo de , de e de simultaneamente. -
Isso equivale a pedir que
seja múltiplo de -
Calculamos a
: como são primos entre si, temos -
Como
, não existe nenhum entre e que seja múltiplo de . Logo, não há andar (fora o térreo) onde parem os quatro ao mesmo tempo. -
Portanto a afirmativa 2 é VERDADEIRA.
Passo 5
Verificação da afirmativa 3: “Existem, neste prédio, 4 andares em que param 3 elevadores com exceção do próprio térreo.”
-
Lembrete: T para sempre, então “3 elevadores” significa exatamente T mais dois dentre
. Equivalente: andares que são múltiplos do de alguma dupla entre , mas que não sejam múltiplos dos três ao mesmo tempo. Em forma prática, contamos múltiplos de cada de pares e subtraímos os que são múltiplos de todos os três (se existissem). -
Calculemos os
das três pares: -
Agora contamos quantos múltiplos de cada um existem entre
e :
-
Soma inicial:
andares que são múltiplos de alguma de par. -
Agora verificamos se algum desses é múltiplo dos três simultaneamente (isto é, múltiplo de
). Como já vimos, , portanto nenhum dos andares listados é múltiplo dos três ao mesmo tempo. Assim não há necessidade de excluir nenhum por ser múltiplo dos três. -
Portanto existem exatamente
andares em onde param exatamente 3 elevadores (são ), o que confirma a afirmativa. -
Conclusão: a afirmativa 3 é VERDADEIRA.
Resposta
F
V
V
V
V