Questão 19. Um comerciante deseja totalizar a quantia de
500,00$ utilizando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 92 cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais sejam iguais. Neste caso, a quantidade de cédulas de cinco reais de que o comerciante precisará será igual a:
a) 12
b) 28
c) 40
d) 92
e) 108
a) 12
b) 28
c) 40
d) 92
e) 108
Passo 1
O enunciado diz que um comerciante quer totalizar a quantia de
usando cédulas de
,
e
reais, com um total de
cédulas, e que a quantidade de cédulas de
real é igual à de
reais. A pergunta é: qual é a quantidade de cédulas de
reais necessária? Os dados relevantes são: total em dinheiro
, total de cédulas
, e igualdade entre as quantidades de cédulas de
e
reais.
Passo 2
Vamos definir variáveis para traduzir o problema em equações, explicando cada uma:
- Seja
o número de cédulas de real. - Seja
o número de cédulas de reais. - Seja
o número de cédulas de reais.
Aqui, cada variável representa uma quantidade inteira de cédulas; por exemplo,significaria três cédulas de real.
Passo 3
Agora escrevemos as equações que vêm diretamente das condições do enunciado:
- O total de cédulas é
, então
- O total em dinheiro é
reais. Cada cédula de vale , de vale e de vale , então
- A quantidade de cédulas de
e de são iguais, isto é,
Essas três equações formam um sistema que podemos resolver. Substituir uma variável por outra (
) é uma técnica básica chamada substituição.
Passo 4
Usamos a condição
para eliminar
nas outras equações. Substituindo em
obtemos:
Agrupando os
:
Isto nos dá uma relação simples entre
e
. Sempre que temos duas incógnitas numa equação linear, podemos isolar uma delas; aqui vamos isolar
depois.
Passo 5
Substituímos também
na equação do valor total:
Somando os termos que têm
:
Explicando:
. Esse tipo de operação chama-se combinar termos semelhantes.
Passo 6
Agora expressamos
em função de
usando a equação do Passo 4:
Em seguida substituímos essa expressão em
:
Agora expandimos e simplificamos passo a passo (mostrar os passos é importante para a prova):
Primeiro multiplicamos:
Primeiro multiplicamos:
Agora combinamos
e
:
Isolamos
subtraindo
dos dois lados:
Logo
Isto significa que há
cédulas de
real (e, pela igualdade, também
cédulas de
reais).
Passo 7
Usamos
na expressão
para encontrar a quantidade de cédulas de
reais:
Portanto, o comerciante precisa de
cédulas de
reais.
Passo 8
Fazemos uma checagem rápida para garantir que tudo fecha (sempre faça isso na prova): com
,
,
,
- soma de cédulas:
(confere), - valor total:
(confere).
Tudo está consistente — solução correta.