Questão 19. Um comerciante deseja totalizar a quantia de \mathrm{R} \ 500,00$ utilizando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 92 cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais sejam iguais. Neste caso, a quantidade de cédulas de cinco reais de que o comerciante precisará será igual a:
a) 12
b) 28
c) 40
d) 92
e) 108

Passo 1

O enunciado diz que um comerciante quer totalizar a quantia de \mathrm{R}\$\,500,00 usando cédulas de \,1, \,5 e \,10 reais, com um total de \,92 cédulas, e que a quantidade de cédulas de \,1 real é igual à de \,10 reais. A pergunta é: qual é a quantidade de cédulas de \,5 reais necessária? Os dados relevantes são: total em dinheiro \,500, total de cédulas \,92, e igualdade entre as quantidades de cédulas de \,1 e \,10 reais.

Passo 2

Vamos definir variáveis para traduzir o problema em equações, explicando cada uma:
  • Seja \,x o número de cédulas de \,1 real.
  • Seja \,y o número de cédulas de \,5 reais.
  • Seja \,z o número de cédulas de \,10 reais.
    Aqui, cada variável representa uma quantidade inteira de cédulas; por exemplo, \,x=3 significaria três cédulas de \,1 real.

Passo 3

Agora escrevemos as equações que vêm diretamente das condições do enunciado:
  1. O total de cédulas é \,92, então
x + y + z = 92
  1. O total em dinheiro é \,500 reais. Cada cédula de \,1 vale \,1, de \,5 vale \,5 e de \,10 vale \,10, então
1\cdot x + 5\cdot y + 10\cdot z = 500
  1. A quantidade de cédulas de \,1 e de \,10 são iguais, isto é,
x = z
Essas três equações formam um sistema que podemos resolver. Substituir uma variável por outra ( x=z) é uma técnica básica chamada substituição.

Passo 4

Usamos a condição \,x=z para eliminar \,z nas outras equações. Substituindo em x + y + z = 92 obtemos:
x + y + x = 92
Agrupando os x:
2x + y = 92
Isto nos dá uma relação simples entre \,x e \,y. Sempre que temos duas incógnitas numa equação linear, podemos isolar uma delas; aqui vamos isolar \,y depois.

Passo 5

Substituímos também z=x na equação do valor total:
1\cdot x + 5\cdot y + 10\cdot x = 500
Somando os termos que têm x:
11x + 5y = 500
Explicando: 1x + 10x = 11x. Esse tipo de operação chama-se combinar termos semelhantes.

Passo 6

Agora expressamos \,y em função de \,x usando a equação do Passo 4:
y = 92 - 2x
Em seguida substituímos essa expressão em 11x + 5y = 500:
11x + 5(92 - 2x) = 500
Agora expandimos e simplificamos passo a passo (mostrar os passos é importante para a prova):
Primeiro multiplicamos:
11x + 460 - 10x = 500
Agora combinamos 11x e -10x:
x + 460 = 500
Isolamos x subtraindo 460 dos dois lados:
x = 500 - 460
Logo
x = 40
Isto significa que há \,40 cédulas de \,1 real (e, pela igualdade, também \,40 cédulas de \,10 reais).

Passo 7

Usamos \,x=40 na expressão \,y = 92 - 2x para encontrar a quantidade de cédulas de \,5 reais:
y = 92 - 2\cdot 40
y = 92 - 80
y = 12
Portanto, o comerciante precisa de \,12 cédulas de \,5 reais.

Passo 8

Fazemos uma checagem rápida para garantir que tudo fecha (sempre faça isso na prova): com x=40, y=12, z=x=40,
  • soma de cédulas: 40 + 12 + 40 = 92 (confere),
  • valor total: 1\cdot 40 + 5\cdot 12 + 10\cdot 40 = 40 + 60 + 400 = 500 (confere).
    Tudo está consistente — solução correta.

Resposta

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