Questão 24. O número \left(2+2^{1 / 2}\right)^{3}\left(3-2^{1 / 2}\right)^{4}+(2- \left.2^{1 / 2}\right)^{3}\left(3+2^{1 / 2}\right)^{4} é:
a) inteiro ímpar
b) inteiro par
c) racional não inteiro
d) irracional positivo

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique o número
\left(2+2^{1/2}\right)^{3}\left(3-2^{1/2}\right)^{4}+\left(2-2^{1/2}\right)^{3}\left(3+2^{1/2}\right)^{4}
entre as opções: (a) inteiro ímpar; (b) inteiro par; (c) racional não inteiro; (d) irracional positivo.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Aparecem as expressões \left(2+2^{1/2}\right)^{3} e \left(2-2^{1/2}\right)^{3}, que são conjugadas (trocar 2^{1/2} por -2^{1/2} transforma uma na outra).
  • Aparecem também \left(3-2^{1/2}\right)^{4} e \left(3+2^{1/2}\right)^{4}, que são também conjugadas.
  • O número pedido é a soma de um produto com seu conjugado; isso sugere que o resultado será um número racional (de fato, um número real sem a parte irracional linear em 2^{1/2}), mas precisamos calcular para saber se é inteiro e se é par ou ímpar.

Passo 2

Para simplificar as contas, vamos introduzir a notação curta
x = 2^{1/2}.
Assim a expressão vira
E=(2+x)^{3}(3-x)^{4}+(2-x)^{3}(3+x)^{4}.
Primeiro vamos desenvolver (2+x)^{3} e (2-x)^{3} usando o Teorema Binomial. O Teorema Binomial diz que
(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3},
onde cada termo é obtido por combinações e potências de a e b.
Aplicando com a=2 e b=x:
(2+x)^{3}=2^{3}+3\cdot2^{2}x+3\cdot2x^{2}+x^{3}=8+12x+6x^{2}+x^{3}.
Agora usamos que x^{2}=2 (porque x=2^{1/2}) e x^{3}=x\cdot x^{2}=2x. Substituindo:
(2+x)^{3}=8+12x+6\cdot2+2x=8+12x+12+2x=20+14x.
Da mesma forma, aplicando o binômio a (2-x)^{3} (ou simplesmente fazendo a substituição x\mapsto -x):
(2-x)^{3}=20-14x.

Passo 3

Agora desenvolvemos (3-x)^{4} e (3+x)^{4}. O Teorema Binomial para quarta potência é
(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}.
Escolhendo a=3 e b=-x para (3-x)^{4}:
(3-x)^{4}=3^{4}-4\cdot3^{3}x+6\cdot3^{2}x^{2}-4\cdot3x^{3}+x^{4}.
Calculando numéricos: 3^{4}=81, 4\cdot3^{3}=108, 6\cdot3^{2}=54, 4\cdot3=12. Também x^{2}=2, x^{3}=2x, x^{4}=(x^{2})^{2}=4. Substituindo:
(3-x)^{4}=81-108x+54\cdot2-12\cdot(2x)+4.
Fazendo as contas:
54\cdot2=108,\qquad -12\cdot(2x)=-24x,
então
(3-x)^{4}=81-108x+108-24x+4=(81+108+4)+(-108x-24x)=193-132x.
Analogamente, trocando x\mapsto -x obtém-se
(3+x)^{4}=193+132x.

Passo 4

Agora multiplicamos os pares que aparecem na expressão E.
Primeiro produto:
(2+x)^{3}(3-x)^{4}=(20+14x)(193-132x).
Multiplicamos termo a termo:
20\cdot193=3860,
20\cdot(-132x)=-2640x,
14x\cdot193=2702x\quad(\text{pois }193\cdot14=193\cdot10+193\cdot4=1930+772=2702),
14x\cdot(-132x)=-1848x^{2}.
Como x^{2}=2, temos -1848x^{2}=-1848\cdot2=-3696.
Somando constantes e termos em x:
constantes: 3860-3696=164,
coeficiente de x: -2640x+2702x=62x.
Logo
(2+x)^{3}(3-x)^{4}=164+62x.
Segundo produto:
(2-x)^{3}(3+x)^{4}=(20-14x)(193+132x).
Multiplicando termo a termo:
20\cdot193=3860,
20\cdot132x=2640x,
-14x\cdot193=-2702x,
-14x\cdot132x=-1848x^{2}=-3696.
Somando:
constantes: 3860-3696=164,
coeficiente de x: 2640x-2702x=-62x.
Logo
(2-x)^{3}(3+x)^{4}=164-62x.

Passo 5

Agora somamos os dois produtos para obter E:
E=(164+62x)+(164-62x)=164+164+(62x-62x)=328+0\cdot x=328.
Portanto E=328.
Checagem de classificação: 328 é um número inteiro e é par (divisível por 2). Logo a opção correta é a que diz “inteiro par”.
Pequena observação didática (útil na prova): perceber que a expressão é soma de duas quantidades conjugadas em x=2^{1/2} já indica que os termos irracionais (os que ficam multiplicando x) vão se cancelar na soma, resultando em número racional; o trabalho é só calcular e ver que é um inteiro — e aqui deu 328, par.

Resposta

b) inteiro par

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