Questão 24. O número
é:
a) inteiro ímpar
b) inteiro par
c) racional não inteiro
d) irracional positivo
a) inteiro ímpar
b) inteiro par
c) racional não inteiro
d) irracional positivo
Passo 1
O enunciado pede que a gente classifique o número
entre as opções: (a) inteiro ímpar; (b) inteiro par; (c) racional não inteiro; (d) irracional positivo.
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Aparecem as expressões
e , que são conjugadas (trocar por transforma uma na outra). - Aparecem também
e , que são também conjugadas. - O número pedido é a soma de um produto com seu conjugado; isso sugere que o resultado será um número racional (de fato, um número real sem a parte irracional linear em
), mas precisamos calcular para saber se é inteiro e se é par ou ímpar.
Passo 2
Para simplificar as contas, vamos introduzir a notação curta
Assim a expressão vira
Primeiro vamos desenvolver
e
usando o Teorema Binomial. O Teorema Binomial diz que
onde cada termo é obtido por combinações e potências de
e
.
Aplicando com
e
:
Agora usamos que
(porque
) e
. Substituindo:
Da mesma forma, aplicando o binômio a
(ou simplesmente fazendo a substituição
):
Passo 3
Agora desenvolvemos
e
. O Teorema Binomial para quarta potência é
Escolhendo
e
para
:
Calculando numéricos:
,
,
,
. Também
,
,
. Substituindo:
Fazendo as contas:
então
Analogamente, trocando
obtém-se
Passo 4
Agora multiplicamos os pares que aparecem na expressão
.
Primeiro produto:
Multiplicamos termo a termo:
Como
, temos
.
Somando constantes e termos em
:
constantes: ,
coeficiente de :
.
constantes:
coeficiente de
Logo
Segundo produto:
Multiplicando termo a termo:
Somando:
constantes: ,
coeficiente de :
.
constantes:
coeficiente de
Logo
Passo 5
Agora somamos os dois produtos para obter
:
Portanto
.
Checagem de classificação:
é um número inteiro e é par (divisível por
). Logo a opção correta é a que diz “inteiro par”.
Pequena observação didática (útil na prova): perceber que a expressão é soma de duas quantidades conjugadas em
já indica que os termos irracionais (os que ficam multiplicando
) vão se cancelar na soma, resultando em número racional; o trabalho é só calcular e ver que é um inteiro — e aqui deu
, par.
Resposta
b) inteiro par