QUESTÃO 20 - Um número decimal é um número que inclui uma parte inteira e uma parte decimal, separadas por um ponto decimal (vírgula em alguns países). A parte inteira representa uma quantidade inteira, enquanto a parte decimal representa uma fração ou parte fracionária da unidade. Considere que um certo número racional seja representado por
a_{1} a_{2}, a_{3} a_{4}
em que 1 \leq \boldsymbol{a}_{1 \leq 9 \text { e os demais algarismos satisfazem } 0 \leq \boldsymbol{a}_{2} \leq 9,0 \leq \boldsymbol{a}_{3} \leq 9 \text { e } 0 \leq \boldsymbol{a}_{4}} \leq 9. Sabendo-se que \boldsymbol{a}_{1} é o dobro de \boldsymbol{a}_{2} e que também é divisível por 3, e que \boldsymbol{a}_{3} \boldsymbol{a}_{4}= ( a_{1} a_{2}+1 )/2, assinale a alternativa que contém o valor do algarismo a_{4}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do algarismo a_{4}. As informações fornecidas são:
  • O número é representado por a_{1}a_{2},a_{3}a_{4}, onde a_{1} é o algarismo das dezenas da parte inteira, a_{2} é o algarismo das unidades da parte inteira, a_{3} é o primeiro algarismo decimal e a_{4} é o segundo algarismo decimal.
  • Os algarismos satisfazem
1 \leq a_{1} \leq 9,\qquad 0 \leq a_{2} \leq 9,\qquad 0 \leq a_{3} \leq 9,\qquad 0 \leq a_{4} \leq 9.
  • Foi dado que a_{1}=2a_{2} e que a_{1} é divisível por 3.
  • Foi dado também que o número formado por a_{3}a_{4} (ou seja, o inteiro \,10a_{3}+a_{4}\,) satisfaz
10a_{3}+a_{4}=\frac{\,10a_{1}+a_{2}+1\,}{2}.
Observação: aqui usei que o número de dois algarismos a_{1}a_{2} representa o inteiro 10a_{1}+a_{2} e que a_{3}a_{4} representa 10a_{3}+a_{4}.

Passo 2

Vamos usar a relação a_{1}=2a_{2}. Como a_{1} é um algarismo entre 1 e 9, ele só pode assumir valores inteiros de 1 a 9. Além disso, a_{1} sendo igual a 2a_{2} implica que a_{1} é um número par (produto por 2). Os algarismos pares entre 1 e 9 são
2,4,6,8.

Passo 3

Outra condição é que a_{1} é divisível por 3. Dos pares listados no passo anterior, apenas 6 é divisível por 3. Portanto concluímos que
a_{1}=6.

Passo 4

Tendo a_{1}=6 e sabendo que a_{1}=2a_{2}, obtemos a_{2} dividindo:
a_{2}=\frac{a_{1}}{2}=\frac{6}{2}=3.
Verificamos que a_{2}=3 está dentro do intervalo permitido 0\leq a_{2}\leq 9.

Passo 5

Agora vamos usar a equação que relaciona a_{3}a_{4} com a_{1}a_{2}. Primeiro calculemos o valor numérico de a_{1}a_{2}:
10a_{1}+a_{2}=10\cdot 6 + 3 = 60+3=63.

Passo 6

Substituímos na fórmula dada:
10a_{3}+a_{4}=\frac{\,10a_{1}+a_{2}+1\,}{2}=\frac{63+1}{2}=\frac{64}{2}=32.
Isso significa que o número de dois algarismos a_{3}a_{4} é 32. Portanto a_{3}=3 e a_{4}=2.

Passo 7

Fazemos uma checagem final: a_{3}=3 e a_{4}=2 estão dentro dos intervalos permitidos 0\leq a_{3},a_{4}\leq 9. Todas as condições do enunciado são satisfeitas ( a_{1}=6 é o dobro de a_{2}=3 e é divisível por 3; e a_{3}a_{4}=32=(63+1)/2).

Resposta

2

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