QUESTÃO 19 - Em um trecho da estrada, em uma viagem de Maceió para Penedo, pode-se modelar por uma parábola que fornece a altura h, em relação ao nível do mar, em metros, em função do tempo t, em segundos, pela função h(t)=-t^{2}+20 t+54. Sendo assim, em qual intervalo de tempo a altura será maior que 90 metros?
a) 1<\mathrm{t}<19
b) 2<\mathrm{t}<18
c) 3<\mathrm{t}<17
d) 4<\mathrm{t}<16
e) 5<\mathrm{t}<15

Passo 1

O enunciado dá a função que modela a altura em função do tempo:
h(t) = -t^{2} + 20t + 54,
onde t está em segundos e h(t) em metros. A pergunta é: em qual intervalo de tempo a altura será maior que 90 metros? Ou seja, queremos encontrar os valores de t tais que
h(t) > 90.
As alternativas fornecidas são:
a) 1<t<19
b) 2<t<18
c) 3<t<17
d) 4<t<16
e) 5<t<15

Passo 2

Começamos transformando a condição h(t)>90 em uma desigualdade algébrica mais manejável. Substituímos h(t) e trazemos tudo para um lado:
-t^{2}+20t+54 > 90.

Passo 3

Subtraindo 90 de ambos os lados para obter uma expressão igual a zero do outro lado:
-t^{2}+20t+54-90 > 0
ou seja
-t^{2}+20t-36 > 0.

Passo 4

É mais fácil trabalhar com o coeficiente do termo t^{2} positivo. Multiplicamos a desigualdade por -1; lembrando que ao multiplicar por número negativo a desigualdade inverte o sinal:
t^{2}-20t+36 < 0.
Agora temos uma inequação quadrática na forma padrão t^{2}-20t+36<0.

Passo 5

Para resolver t^{2}-20t+36<0 encontramos as raízes da equação quadrática correspondente t^{2}-20t+36=0. Usamos o discriminante \Delta:
\Delta = b^{2}-4ac = (-20)^{2}-4\cdot 1\cdot 36 = 400-144 = 256.
A raiz quadrada de \Delta é \sqrt{256}=16. As raízes são
t=\frac{20\pm 16}{2}.
Calculando cada uma:
t_{1}=\frac{20-16}{2}=\frac{4}{2}=2,
t_{2}=\frac{20+16}{2}=\frac{36}{2}=18.

Passo 6

Podemos fatorar o polinômio usando as raízes encontradas:
t^{2}-20t+36=(t-2)(t-18).
Uma parábola com coeficiente positivo (aqui +1) é negativa entre as raízes e positiva fora delas. Como queremos onde t^{2}-20t+36<0, isso ocorre para valores de t estritamente entre as raízes:
2<t<18.
Observação didática: a desigualdade é estrita porque a condição original era h(t)>90, então os pontos onde h(t)=90 (isto é, t=2 e t=18) não pertencem ao intervalo buscado.

Passo 7

Verificação rápida (aproveita para treinar na prova): escolhemos um ponto dentro do intervalo, por exemplo t=10. Calculando
h(10) = -10^{2}+20\cdot 10+54 = -100+200+54 = 154,
que é maior que 90, portanto faz sentido que valores entre 2 e 18 satisfaçam a desigualdade. Pontos fora do intervalo, por exemplo t=1: h(1)=-1+20+54=73<90, logo não satisfazem.

Resposta

b) 2<t<18

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