QUESTÃO 19 - Em um trecho da estrada, em uma viagem de Maceió para Penedo, pode-se modelar por uma parábola que fornece a altura h, em relação ao nível do mar, em metros, em função do tempo
, em segundos, pela função
. Sendo assim, em qual intervalo de tempo a altura será maior que 90 metros?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a função que modela a altura em função do tempo:
onde
está em segundos e
em metros. A pergunta é: em qual intervalo de tempo a altura será maior que
metros? Ou seja, queremos encontrar os valores de
tais que
As alternativas fornecidas são:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 2
Começamos transformando a condição
em uma desigualdade algébrica mais manejável. Substituímos
e trazemos tudo para um lado:
Passo 3
Subtraindo
de ambos os lados para obter uma expressão igual a zero do outro lado:
ou seja
Passo 4
É mais fácil trabalhar com o coeficiente do termo
positivo. Multiplicamos a desigualdade por
; lembrando que ao multiplicar por número negativo a desigualdade inverte o sinal:
Agora temos uma inequação quadrática na forma padrão
.
Passo 5
Para resolver
encontramos as raízes da equação quadrática correspondente
. Usamos o discriminante
:
A raiz quadrada de
é
. As raízes são
Calculando cada uma:
Passo 6
Podemos fatorar o polinômio usando as raízes encontradas:
Uma parábola com coeficiente positivo (aqui
) é negativa entre as raízes e positiva fora delas. Como queremos onde
, isso ocorre para valores de
estritamente entre as raízes:
Observação didática: a desigualdade é estrita porque a condição original era
, então os pontos onde
(isto é,
e
) não pertencem ao intervalo buscado.
Passo 7
Verificação rápida (aproveita para treinar na prova): escolhemos um ponto dentro do intervalo, por exemplo
. Calculando
que é maior que
, portanto faz sentido que valores entre
e
satisfaçam a desigualdade. Pontos fora do intervalo, por exemplo
:
, logo não satisfazem.
Resposta
b)