QUESTÃO 21 - Considere a expressão numérica
N=\sqrt{2+\sqrt[3]{10-\sqrt[4]{16}}}

Passo 1

O enunciado dá a expressão
N=\sqrt{2+\sqrt[3]{10-\sqrt[4]{16}}}
e pede para calcular o valor numérico de N. As informações relevantes são:
  • Há uma raiz quarta interna \sqrt[4]{16}.
  • Essa raiz quarta está dentro de uma raiz cúbica \sqrt[3]{\,\cdot\,}.
  • O resultado da raiz cúbica está dentro de uma raiz quadrada \sqrt{\,\cdot\,}.
  • Devemos avaliar essas raízes seguindo a ordem de dentro para fora (primeiro a raiz quarta, depois a cúbica, depois a quadrada).

Passo 2

Entendendo o que é uma raiz n-ésima: \sqrt[n]{a} é um número b tal que b^{n}=a. Para n par (por exemplo n=2 ou n=4) usamos a raiz principal, que é não negativa. Exemplo rápido: \sqrt[4]{16} é o número não negativo cujo quarto poder é 16.

Passo 3

Calculemos a raiz quarta interna:
\sqrt[4]{16}=2,
porque 2^{4}=16. Observação: apesar de (-2)^{4}=16 também, pela definição de raiz quarta usamos a raiz principal, que é o número não negativo, então ficamos com 2.

Passo 4

Substituindo esse valor na raiz cúbica, temos
\sqrt[3]{10-\sqrt[4]{16}}=\sqrt[3]{10-2}=\sqrt[3]{8}.
Agora \sqrt[3]{8}=2 porque 2^{3}=8. (Para raiz cúbica a raiz é única no conjunto dos reais, então não há ambiguidade de sinal.)

Passo 5

Por fim, substituímos na raiz quadrada externa:
N=\sqrt{2+\sqrt[3]{10-\sqrt[4]{16}}}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2,
onde usamos a raiz quadrada principal de 4, que é 2.

Resposta

2

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