Questão 3 (0.20 ponto)
Em um experimento de interferência de Young, as duas fendas estão separadas por 0,150 \mathrm{~mm} e a luz incidente inclui dois comprimentos de onda:λ1 540 nm (verde) e No2 450 nm (azul), e os padrões de interferência de sobreposição são observados em uma tela a 1,40 das fendas. Calcule a distância mínima do centro da tela ao ponto onde a franja clara da luz verde coincide com a franja clara da luz azul.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
  • Distância entre as fendas: d=0,150\\ \mathrm{mm}.
  • Dois comprimentos de onda: \lambda_1=540\\ \mathrm{nm} (verde) e \lambda_2=450\\ \mathrm{nm} (azul).
  • Distância da fendas à tela: L=1,40\\ \mathrm{m}.
  • O enunciado pede: calcular a menor distância do centro da tela ao ponto onde uma franja clara da luz verde coincide com uma franja clara da luz azul (ou seja, a menor distância y>0 em que há coincidência de máximos brilhantes).

Passo 2

Relembrando a condição para franja clara (máximo) no arranjo de duas fendas: a posição vertical y de um máximo de ordem inteira m (contando a franja central como m=0) em tela distante é dada por
y=\frac{m\,\lambda\,L}{d},
onde:
  • y é a distância do centro da tela até a franja,
  • m é um número inteiro (ordem do máximo: 0,1,2,\dots),
  • \lambda é o comprimento de onda da luz,
  • L é a distância fendas–tela,
  • d é a separação entre as fendas.
Explicação curta dessa fórmula (sem pular etapas): para tela distante e pequenos ângulos vale \sin\theta\approx\tan\theta\approx y/L. A condição de máxima é d\sin\theta=m\lambda. Substituindo \sin\theta\approx y/L obtemos a fórmula acima. Cada variável tem o significado já dado.

Passo 3

Queremos y>0 tal que exista um inteiro m_1 para a cor verde e um inteiro m_2 para a cor azul com posições iguais:
\frac{m_1\,\lambda_1\,L}{d}=\frac{m_2\,\lambda_2\,L}{d}.
Como L e d são os mesmos dos dois lados, eles cancelam, sobrando a condição de coincidência entre comprimentos de onda e ordens:
m_1\,\lambda_1=m_2\,\lambda_2.
Portanto precisamos encontrar inteiros positivos m_1,m_2 (não ambos zero) que satisfaçam essa igualdade. A menor distância não nula corresponde à menor solução inteira positiva dessa igualdade.

Passo 4

Agora usamos os valores dados para encontrar a razão entre os comprimentos de onda:
\frac{\lambda_1}{\lambda_2}=\frac{540\\ \mathrm{nm}}{450\\ \mathrm{nm}}=\frac{540}{450}=\frac{54}{45}=\frac{6}{5}.
Logo
\frac{m_2}{m_1}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}=\frac{6}{5}.
A menor escolha de inteiros positivos que satisfaz \dfrac{m_2}{m_1}=\dfrac{6}{5} é m_1=5 e m_2=6. (Isto é análogo a tomar o menor par de inteiros proporcionais à fração reduzida 6/5.)

Passo 5

Agora calculamos a posição y usando a fórmula para um dos dois modos; por exemplo, usando a cor verde com m_1=5:
Primeiro convertemos unidades para o SI (peguei estes valores do enunciado):
d=0,150\\ \mathrm{mm}=0,150\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=1,50\times10^{-4}\\ \mathrm{m},
\lambda_1=540\\ \mathrm{nm}=540\times10^{-9}\\ \mathrm{m},
L=1,40\\ \mathrm{m}.
Aplicando
y=\frac{m_1\,\lambda_1\,L}{d}
com m_1=5:

Passo 6

Fazendo as contas passo a passo (tudo em SI):
m_1\,\lambda_1=5\times540\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=2700\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=2,700\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Multiplicando por L:
L\,(m_1\lambda_1)=1,40\times2,700\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=3,780\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Dividindo por d:
y=\frac{3,780\times10^{-6}}{1,50\times10^{-4}}\\ \mathrm{m}=0,0252\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros (opcional):
y=2,52\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Checagem rápida: usando a azul com m_2=6 dá o mesmo produto m_2\lambda_2=6\times450\times10^{-9}=2700\times10^{-9}=2,700\times10^{-6}\\ \mathrm{m}, portanto a mesma y, como deveria ocorrer. Também verificamos que m_1=0 é a franja central (coincidência trivial), e a solução encontrada é a menor coincidência não nula.

Resposta

0,0252\\ \mathrm{m} (ou 2,52\\ \mathrm{cm})

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