Questão 3 (0.20 ponto)
Em um experimento de interferência de Young, as duas fendas estão separadas por
e a luz incidente inclui dois comprimentos de onda:λ1 540 nm (verde) e No2 450 nm (azul), e os padrões de interferência de sobreposição são observados em uma tela a 1,40 das fendas. Calcule a distância mínima do centro da tela ao ponto onde a franja clara da luz verde coincide com a franja clara da luz azul.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
- Distância entre as fendas:
. - Dois comprimentos de onda:
(verde) e (azul). - Distância da fendas à tela:
. - O enunciado pede: calcular a menor distância do centro da tela ao ponto onde uma franja clara da luz verde coincide com uma franja clara da luz azul (ou seja, a menor distância
em que há coincidência de máximos brilhantes).
Passo 2
Relembrando a condição para franja clara (máximo) no arranjo de duas fendas: a posição vertical
de um máximo de ordem inteira
(contando a franja central como
) em tela distante é dada por
onde:
-
é a distância do centro da tela até a franja, -
é um número inteiro (ordem do máximo: ), -
é o comprimento de onda da luz, -
é a distância fendas–tela, -
é a separação entre as fendas.
Explicação curta dessa fórmula (sem pular etapas): para tela distante e pequenos ângulos vale
. A condição de máxima é
. Substituindo
obtemos a fórmula acima. Cada variável tem o significado já dado.
Passo 3
Queremos
tal que exista um inteiro
para a cor verde e um inteiro
para a cor azul com posições iguais:
Como
e
são os mesmos dos dois lados, eles cancelam, sobrando a condição de coincidência entre comprimentos de onda e ordens:
Portanto precisamos encontrar inteiros positivos
(não ambos zero) que satisfaçam essa igualdade. A menor distância não nula corresponde à menor solução inteira positiva dessa igualdade.
Passo 4
Agora usamos os valores dados para encontrar a razão entre os comprimentos de onda:
Logo
A menor escolha de inteiros positivos que satisfaz
é
e
. (Isto é análogo a tomar o menor par de inteiros proporcionais à fração reduzida
.)
Passo 5
Agora calculamos a posição
usando a fórmula para um dos dois modos; por exemplo, usando a cor verde com
:
Primeiro convertemos unidades para o SI (peguei estes valores do enunciado):
Primeiro convertemos unidades para o SI (peguei estes valores do enunciado):
Aplicando
com
:
Passo 6
Fazendo as contas passo a passo (tudo em SI):
Multiplicando por
:
Dividindo por
:
Convertendo para centímetros (opcional):
Passo 7
Checagem rápida: usando a azul com
dá o mesmo produto
, portanto a mesma
, como deveria ocorrer. Também verificamos que
é a franja central (coincidência trivial), e a solução encontrada é a menor coincidência não nula.