Questão 5. ( 20 pontos) Considere o sistema de equacões diferenciais.
(a) (5 pontos) Encontre todos os equilíbrios do sistema (3) e explique porque não podem ser analisados pelo Teorema da Linearização (Teorema de Hartman).
(b) (5 pontos) Verifique que as seguintes expressões são soluções de (3) com condição inicial
e
.
(c) (10 pontos) Encontre uma quantidade conservada
para esse sistema e a use para determinar como é o seu retrato de fase.
(b) (5 pontos) Verifique que as seguintes expressões são soluções de (3) com condição inicial
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações diferenciais
e pede três coisas:
- (a) encontrar todos os pontos de equilíbrio do sistema e explicar por que o Teorema da Linearização (Hartman) não pode ser aplicado;
- (b) verificar que as funções
satisfazem o sistema com condição inicial
;
- (c) encontrar uma quantidade conservada
(uma primeira integral) e usar isso para descrever o retrato de fase.
Informações relevantes dadas:
- O sistema completo é fornecido (não falta nenhuma figura).
- As expressões de
e são candidatas a soluções com dados iniciais . - Deve-se produzir e usar uma quantidade conservada para descrever as curvas de fase.
Passo 2
Encontrar os equilíbrios: equilibrío é ponto
tal que
e
.
Impondo as igualdades:
Com
temos
logo qualquer
satisfaz
. Portanto o conjunto de equilíbrios é a reta
Agora o porquê de o Teorema da Linearização (Hartman-Grobman) não poder ser aplicado: calcule a matriz jacobiana do campo
A jacobiana é
Nos pontos de equilíbrio temos
, logo
Os autovalores dessa matriz são
e
(determinante e traço ou observando a forma triangular). Como existe um autovalor igual a
, cada equilíbrio é não hiperbólico. O Teorema de Hartman-Grobman requer que o equilíbrio seja hiperbólico (nenhum autovalor com parte real zero). Portanto o teorema não se aplica a nenhum ponto da reta de equilíbrios.]
Passo 3
Verificação de que
satisfaz
com
.
Calcule a derivada:
No tempo
tem-se
. Logo
é solução de
com a condição inicial exigida.
Agora verificação de
satisfaz
com
.
Primeiro a condição inicial: em
temos
, então
, ok.
Agora calcule a derivada de
. Escrevendo
com
, tem
Então
Mas
, portanto
como exigido. Assim
e
cumprem o sistema com as condições iniciais.
Passo 4
Encontrar uma quantidade conservada
. Dois métodos simples:
Método A (integração de
). Para trajetórias com
(ou onde definimos a razão), temos
Integrando em
:
ou rearranjando
Assim uma primeira integral (na região
) é
constante.
Método B (conservado mais simples e global). Experimente a expressão
. Verifique se é constante ao longo da solução:
Como
, obtemos
Substituindo
e
dá
logo
. Portanto
é uma quantidade conservada (primeira integral) válida globalmente (para todo par
). Observe que, tomando logaritmo quando
,
é constante, que equivale à forma anterior
constante.
Relacionando com a solução explícita: para a solução dada, calcule
confirmando que
é constante e que o valor de
para a trajetória inicial
é
.
Passo 5
Usar
para descrever o retrato de fase.
As curvas de nível de
são as trajetórias no plano. Escritas explicitamente:
onde
é a constante determinada pela condição inicial
.
Características dessas curvas e o comportamento temporal:
- Para
, a curva é o gráfico . Para , é o gráfico com . Para obtém-se a reta . - Ao longo de cada curva,
decai exponencialmente para quando . Portanto em tempo futuro todas as trajetórias tendem para a reta de equilíbrios . - O ponto de acumulação (o equilibrío final) para a trajetória com constante
é , porque quando tem e . Em termos das condições iniciais, o limite é
- A direção do fluxo: como
, a componente sempre diminui (se decresce para pela direita; se aumenta para por baixo), então os vetores do campo apontam no sentido de diminuir . Em desenho, sobre cada curva as setas apontam no sentido decrescente de (movendo-se para a linha ). - Não há órbitas periódicas: as curvas
não são fechadas; elas tendem para a reta de equilíbrios quando e vão para infinito em quando (dependendo do sinal de ). - Cada ponto
da reta de equilíbrios é neutro na direção tangencial à reta (não atração/explosão em porque existe autovalor zero), mas atrai trajectórias na direção transversal (componente ) por causa do autovalor . Assim os equilíbrios são não hiperbólicos: atração na direção associada a e neutro na direção associada a . Por isso um equilíbrio isolado não é assintoticamente estável (há deslocamentos em que levam a outros equilíbrios), mas a reta inteira atua como conjunto atrator em -direção.
Resumo geométrico para o retrato de fase:
- Famílias de curvas
(cada fixa uma curva). - Flechas indicando decaimento de
(movimento “para baixo” nas curvas). - Limite em
: cada órbita converge para o ponto sobre a linha de equilíbrios. - A linha
é o conjunto de equilíbrios; (caso ) é a curva que corresponde ao eixo vertical e também é invariante.
Resposta
(a) Todos os equilíbrios são
. O Teorema da Linearização não se aplica porque a jacobiana em
tem autovalores
e
(há um autovalor zero), portanto os equilíbrios são não hiperbólicos.
(b) As funções dadas satisfazem as condições iniciais e verificam as equações: satisfaz
e
satisfaz
.
(c) Uma quantidade conservada é . As curvas de fase são os níveis
(com
); ao longo das trajetórias
quando
e cada órbita converge para
na reta de equilíbrios.
(b) As funções dadas satisfazem as condições iniciais e verificam as equações:
(c) Uma quantidade conservada é