Questão 2 (20 pontos) Determine todas as soluções da equação

(Dica:
Com (k \in \mathbb{Z}]. SUBSTITUINDO EM (ii), OBTEMOS
FORMA

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções complexas da equação
sin z = -,i,
sendo z = x + i,y com x,yinR.
Conteúdo: usamos a expressão do seno para número complexo, separamos em parte real e imaginária e resolvemos cada uma, recorrendo ao fato de que
arcsinht = lnl(t+raizt^2+1r)

Passo 2

Usamos a identidade
sin(x + i,y) = sin x ,cosh y ;+; i,sinh y,cos x

Passo 3

Comparando com sin z = -,i, temos as condições
sin x ,cosh y = 0, sinh y,cos x = -1

Passo 4

Como cosh y>0 para todo y, da primeira equação segue
sin x = 0 Longrightarrow x = kpi, kinZ

Passo 5

Na segunda equação substituímos x=kpi, lembrando que cos(kpi)=(-1)^k:
sinh y;(-1)^k = -1 Longrightarrow sinh y = (-1)^k+1
Portanto
y = arcsinhl((-1)^k+1r) = ln!l((-1)^k+1 + raiz((-1)^k+1)^2 + 1r) = lnl((-1)^k+1 + raiz2r)

Passo 6

Juntando x e y, a família completa de soluções é
z = kpi ;+; i,lnl((-1)^k+1 + raiz2r), kinZ

Resposta

boxed,z = kpi + i,lnl((-1)^k+1+raiz2r), kinZ,

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