Calcule o comprimento das curvas a seguir. Todas com t \in[0,1].
\beta(t)=\left(1, t^{2}, t^{3}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a curva paramétrica e o intervalo do parâmetro:
  • Curva: \beta(t)=\left(1,\;t^{2},\;t^{3}\right).
  • Intervalo: t\in[0,1].
O que o problema pergunta:
  • Calcular o comprimento da curva \beta para t variando de 0 a 1.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Para uma curva paramétrica \beta(t) com coordenadas diferenciáveis em [a,b], o comprimento L da curva é dado por
L=\int_{a}^{b}\|\beta'(t)\|\,dt.
  • Aqui \beta'(t) é o vetor derivada coordenada a coordenada; \|\beta'(t)\| é a norma euclidiana desse vetor, isto é a velocidade instantânea da partícula que percorre a curva.
  • Por que isso funciona (intuição): dividir o intervalo em pedaços pequenos \Delta t, aproximar cada trecho por um segmento cujo comprimento é aproximadamente \|\beta'(t)\|\Delta t, e somar; no limite isso vira a integral acima.
  • No nosso caso as componentes de \beta(t) são polinômios, logo são diferenciáveis em todo [0,1], então a fórmula acima é válida.

Passo 3

Calcular a derivada \beta'(t) componente a componente:
  • Derivada de 1 em relação a t é 0.
  • Derivada de t^{2} é 2t.
  • Derivada de t^{3} é 3t^{2}.
Logo
\beta'(t)=\left(0,\;2t,\;3t^{2}\right).

Passo 4

Calcular a norma \|\beta'(t)\|.
  • Norma euclidiana em \mathbb{R}^{3} de (x,y,z) é \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • Aplicando a \beta'(t):
\|\beta'(t)\|=\sqrt{0^{2}+(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}}=\sqrt{4t^{2}+9t^{4}}.
  • Fatorando t^{2}:
\|\beta'(t)\|=\sqrt{t^{2}(4+9t^{2})}=|t|\sqrt{4+9t^{2}}.
  • Como t\in[0,1] temos t\ge 0, então |t|=t. Portanto
\|\beta'(t)\|=t\sqrt{4+9t^{2}},\qquad t\in[0,1].

Passo 5

Montar a integral do comprimento usando a norma encontrada:
L=\int_{0}^{1}\|\beta'(t)\|\,dt=\int_{0}^{1}t\sqrt{4+9t^{2}}\,dt.
Agora explico a técnica de integração que vou usar (substituição): quando a integral tem a forma t\sqrt{a+bt^{2}} é natural fazer u=a+bt^{2}, porque du fica proporcional a t\,dt.

Passo 6

Fazer a substituição e calcular a integral passo a passo.
  • Tome u=4+9t^{2}. Então du=18t\,dt, ou seja t\,dt=\dfrac{du}{18}.
  • Mudança de limites: quando t=0 tem-se u=4; quando t=1 tem-se u=13.
  • Substituindo na integral:
L=\int_{t=0}^{t=1}t\sqrt{4+9t^{2}}\,dt=\int_{u=4}^{u=13}\sqrt{u}\cdot\frac{du}{18}=\frac{1}{18}\int_{4}^{13}u^{1/2}\,du.
  • Calcule a primitiva de u^{1/2}: uma primitiva é \dfrac{2}{3}u^{3/2}.
  • Avaliando entre 4 e 13:
L=\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}\Big[ u^{3/2}\Big]_{4}^{13}=\frac{1}{27}\Big[ u^{3/2}\Big]_{4}^{13}.

Resposta

\displaystyle L=\frac{1}{27}\bigl(13^{3/2}-4^{3/2}\bigr)=\frac{1}{27}\bigl(13\sqrt{13}-8\bigr)

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