Calcule o comprimento das curvas a seguir. Todas com
.
Passo 1
O enunciado fornece a curva paramétrica e o intervalo do parâmetro:
- Curva:
. - Intervalo:
.
O que o problema pergunta:
- Calcular o comprimento da curva
para variando de a .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
- Para uma curva paramétrica
com coordenadas diferenciáveis em , o comprimento da curva é dado por
- Aqui
é o vetor derivada coordenada a coordenada; é a norma euclidiana desse vetor, isto é a velocidade instantânea da partícula que percorre a curva. - Por que isso funciona (intuição): dividir o intervalo em pedaços pequenos
, aproximar cada trecho por um segmento cujo comprimento é aproximadamente , e somar; no limite isso vira a integral acima. - No nosso caso as componentes de
são polinômios, logo são diferenciáveis em todo , então a fórmula acima é válida.
Passo 3
Calcular a derivada
componente a componente:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo
Passo 4
Calcular a norma
.
- Norma euclidiana em
de é . - Aplicando a
:
- Fatorando
:
- Como
temos , então . Portanto
Passo 5
Montar a integral do comprimento usando a norma encontrada:
Agora explico a técnica de integração que vou usar (substituição): quando a integral tem a forma
é natural fazer
, porque
fica proporcional a
.
Passo 6
Fazer a substituição e calcular a integral passo a passo.
- Tome
. Então , ou seja . - Mudança de limites: quando
tem-se ; quando tem-se . - Substituindo na integral:
- Calcule a primitiva de
: uma primitiva é . - Avaliando entre
e :