Questão 20. Relembre que
. Mostre que
. Tomando
, mostre que
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas claras:
- Mostrar que
- Tomando a substituição
, mostrar que
Informações relevantes que temos:
(presumido físico ou parâmetro de difusão) e
; a primeira integral é a integral gaussiana padrão; a segunda usa a primeira por mudança de variável.
Passo 2
Definimos a integral gaussiana que queremos calcular:
Esta integral é positiva e converge (a função
decai rápido). A técnica clássica é calcular
e passar para coordenadas polares — isso evita tentar integrar a função diretamente.
Passo 3
Escrevemos o quadrado
como produto de duas integrais idênticas e então como uma integral dupla:
Aqui foi introduzida uma nova variável
para formar a integral dupla. Como o integrando é não-negativo, a troca de ordem e a interpretação como integral dupla é justificada (Fubini/Tonelli).
Passo 4
Passamos para coordenadas polares no plano
. Em coordenadas polares
temos
e o elemento de área transforma como
(essa é a razão do fator
: é o jacobiano da mudança para coordenadas polares). Os limites
correspondem a
e
. Portanto
Passo 5
Calculamos a integral em
primeiro. Faça a substituição
para a integral radial:
Logo
Substituindo isso em
e integrando em
,
Passo 6
Como
, tomando raiz quadrada obtemos
Portanto mostramos a primeira parte pedida:
Passo 7
Agora resolvemos a segunda parte usando a substituição sugerida. Começamos com a integral de
:
Fazemos a mudança de variável
Calculamos
em função de
:
Quando
varre
,
também varre
. Substituindo na integral obtemos
Passo 8
Simplificamos o expoente e os fatores fora da integral. Note que
então o expoente fica
. Assim
Escrevendo
e usando o resultado da Passo 6
, obtemos