Questão 20. Relembre que S(x, t)=\frac{1}{2 \sqrt{\pi k t}} e^{-x^{2} / 4 k t}, t>0. Mostre que \int_{-\infty}^{\infty} e^{-p^{2}} d p=\sqrt{\pi}. Tomando p=x / \sqrt{4 k t}, mostre que
\int_{-\infty}^{\infty} S(x, t) d x=1

Passo 1

O enunciado dá a função
S(x,t)=\frac{1}{2\sqrt{\pi k t}}e^{-x^{2}/4kt},\qquad t>0,
e pede duas coisas claras:
  • Mostrar que \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-p^{2}}\,dp=\sqrt{\pi}.
  • Tomando a substituição p=x/\sqrt{4kt}, mostrar que \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} S(x,t)\,dx=1.
Informações relevantes que temos: k>0 (presumido físico ou parâmetro de difusão) e t>0; a primeira integral é a integral gaussiana padrão; a segunda usa a primeira por mudança de variável.

Passo 2

Definimos a integral gaussiana que queremos calcular:
I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-p^{2}}\,dp.
Esta integral é positiva e converge (a função e^{-p^{2}} decai rápido). A técnica clássica é calcular I^{2} e passar para coordenadas polares — isso evita tentar integrar a função diretamente.

Passo 3

Escrevemos o quadrado I^{2} como produto de duas integrais idênticas e então como uma integral dupla:
I^{2}=\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-p^{2}}\,dp\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-q^{2}}\,dq\right) =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(p^{2}+q^{2})}\,dp\,dq.
Aqui foi introduzida uma nova variável q para formar a integral dupla. Como o integrando é não-negativo, a troca de ordem e a interpretação como integral dupla é justificada (Fubini/Tonelli).

Passo 4

Passamos para coordenadas polares no plano (p,q). Em coordenadas polares (r,\theta) temos
p=r\cos\theta,\qquad q=r\sin\theta,\qquad p^{2}+q^{2}=r^{2},
e o elemento de área transforma como dp\,dq = r\,dr\,d\theta (essa é a razão do fator r: é o jacobiano da mudança para coordenadas polares). Os limites (p,q)\in\mathbb{R}^{2} correspondem a r\in[0,\infty) e \theta\in[0,2\pi). Portanto
I^{2}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculamos a integral em r primeiro. Faça a substituição u=r^{2} para a integral radial:
u=r^{2}\quad\Rightarrow\quad du=2r\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr=\frac{1}{2}\,du.
Logo
\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}}\,r\,dr=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du=\frac{1}{2}\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{\infty}=\frac{1}{2}.
Substituindo isso em I^{2} e integrando em \theta,
I^{2}=\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{2}\right)\,d\theta=\frac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi.

Passo 6

Como I>0, tomando raiz quadrada obtemos
I=\sqrt{\pi}.
Portanto mostramos a primeira parte pedida:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-p^{2}}\,dp=\sqrt{\pi}.

Passo 7

Agora resolvemos a segunda parte usando a substituição sugerida. Começamos com a integral de S:
\int_{-\infty}^{\infty} S(x,t)\,dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\sqrt{\pi k t}}e^{-x^{2}/4kt}\,dx.
Fazemos a mudança de variável
p=\frac{x}{\sqrt{4kt}}.
Calculamos dx em função de dp:
x=\sqrt{4kt}\,p\quad\Rightarrow\quad dx=\sqrt{4kt}\,dp=2\sqrt{kt}\,dp.
Quando x varre (-\infty,\infty), p também varre (-\infty,\infty). Substituindo na integral obtemos
\int_{-\infty}^{\infty} S(x,t)\,dx =\frac{1}{2\sqrt{\pi k t}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{- (\sqrt{4kt}\,p)^{2}/4kt}\,(\sqrt{4kt}\,dp).

Passo 8

Simplificamos o expoente e os fatores fora da integral. Note que
(\sqrt{4kt}\,p)^{2}=4kt\,p^{2},
então o expoente fica -4kt\,p^{2}/4kt=-p^{2}. Assim
\int_{-\infty}^{\infty} S(x,t)\,dx =\frac{1}{2\sqrt{\pi k t}}\cdot\sqrt{4kt}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-p^{2}}\,dp.
Escrevendo \sqrt{4kt}=2\sqrt{kt} e usando o resultado da Passo 6 \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-p^{2}}\,dp=\sqrt{\pi}, obtemos
\int_{-\infty}^{\infty} S(x,t)\,dx =\frac{1}{2\sqrt{\pi k t}}\cdot 2\sqrt{kt}\cdot\sqrt{\pi}=1.

Resposta

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-p^{2}}\,dp=\sqrt{\pi}
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} S(x,t)\,dx=1

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