Questão 20: Resolva o sistema \left\{\begin{array}{l}10 x+y=23 \\\ x+8 y=26\end{array}\right. usando os métodos de Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi com condições iniciais x^{(0)}=y^{(0)}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 10x + y = 23,\\\ x + 8y = 26 \end{cases}
usando métodos iterativos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel com chute inicial (x^{(0)},y^{(0)})=(0,0). O conteúdo aqui é métodos de iteração para sistemas lineares: precisamos isolar cada variável e montar as fórmulas de iteração.

Passo 2

Para o método de Gauss–Jacobi, em cada iteração usamos sempre os valores da iteração anterior para todas as variáveis. Isolando em cada equação:
x = \frac{23 - y}{10}, \qquad y = \frac{26 - x}{8}.
Logo as fórmulas de iteração são
x^{(k+1)} = \frac{23 - y^{(k)}}{10}, \qquad y^{(k+1)} = \frac{26 - x^{(k)}}{8}.

Passo 3

Aplicando duas iterações de Gauss–Jacobi a partir de (x^{(0)},y^{(0)})=(0,0):
Para k=0:
x^{(1)} = \frac{23 - 0}{10} = 2{,}3, \qquad y^{(1)} = \frac{26 - 0}{8} = 3{,}25.
Para k=1:
x^{(2)} = \frac{23 - 3{,}25}{10} = 1{,}975, \qquad y^{(2)} = \frac{26 - 2{,}3}{8} = 2{,}9625.
Para k=2:
x^{(3)} = \frac{23 - 2{,}9625}{10} = 2{,}00375, \qquad y^{(3)} = \frac{26 - 1{,}975}{8} = 3{,}003125.

Passo 4

Observamos que as aproximações de Gauss–Jacobi convergem lentamente ao ponto (2,3).

Passo 5

Para o método de Gauss–Seidel, atualizamos cada variável imediatamente assim que a calculamos. As fórmulas tornam-se
x^{(k+1)} = \frac{23 - y^{(k)}}{10}, \qquad y^{(k+1)} = \frac{26 - x^{(k+1)}}{8}.

Passo 6

Aplicando duas iterações de Gauss–Seidel com o mesmo chute:
Para k=0:
x^{(1)} = \frac{23 - 0}{10} = 2{,}3, \quad y^{(1)} = \frac{26 - 2{,}3}{8} = 2{,}9625.
Para k=1:
x^{(2)} = \frac{23 - 2{,}9625}{10} = 2{,}00375, \quad y^{(2)} = \frac{26 - 2{,}00375}{8} = 2{,}99953125.
Para k=2:
x^{(3)} = \frac{23 - 2{,}99953125}{10} = 2{,}000046875, \quad y^{(3)} = \frac{26 - 2{,}000046875}{8} = 2{,}999993359375.

Resposta

As sequências convergem para o exato (x,y)=(2,3).
Gauss–Jacobi em três iterações: \;(x^{(3)},y^{(3)})\approx(2{,}00375,\,3{,}00313).
Gauss–Seidel em três iterações: \;(x^{(3)},y^{(3)})\approx(2{,}00005,\,2{,}99999).

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