Questão 20: Resolva o sistema
usando os métodos de Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi com condições iniciais
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema
usando métodos iterativos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel com chute inicial
. O conteúdo aqui é métodos de iteração para sistemas lineares: precisamos isolar cada variável e montar as fórmulas de iteração.
Passo 2
Para o método de Gauss–Jacobi, em cada iteração usamos sempre os valores da iteração anterior para todas as variáveis. Isolando em cada equação:
Logo as fórmulas de iteração são
Passo 3
Aplicando duas iterações de Gauss–Jacobi a partir de
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Observamos que as aproximações de Gauss–Jacobi convergem lentamente ao ponto
.
Passo 5
Para o método de Gauss–Seidel, atualizamos cada variável imediatamente assim que a calculamos. As fórmulas tornam-se
Passo 6
Aplicando duas iterações de Gauss–Seidel com o mesmo chute:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As sequências convergem para o exato
.
Gauss–Jacobi em três iterações: .
Gauss–Seidel em três iterações: .
Gauss–Jacobi em três iterações:
Gauss–Seidel em três iterações: