Questão 20. Sejam
e
anéis e considere o anel produto
. Prove que as funções
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois anéis
e
, as projeções
são homomorfismos de anéis. Para isso, vamos usar a definição de anel produto (operações coordenada a coordenada) e a definição de homomorfismo de anéis (preservar soma, produto e unidade).
Passo 2
Lembrando a estrutura de anel em
: para quaisquer
e
em
,
e a unidade é
.
Passo 3
Mostramos que
preserva a soma. Dados
e
,
Passo 4
Mostramos que
preserva o produto.
Passo 5
Mostramos que
envia a unidade em
na unidade de
:
Portanto
é homomorfismo de anéis (com unidade). De modo análogo, troca-se os papéis de
e
para ver que
também preserva soma, produto e unidade.
Passo 6
Observe ainda que
e
são sobrejetivas pois, dado
,
e dado
,
Resposta
As projeções
e
são homomorfismos de anéis (com unidade) e são sobrejetivas.