Questão 1 (PF - 2012.2)
Numa fábrica foi selecionada uma amostra aleatória de parafusos cujos diâmetros (em mm) estão registrados na tabela a seguir.
10
10
11
11
12
12
12
12
12
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
14
14
14
14
15
15
15
15
16
16
com
e
. Suponha que os diâmetros sejam Normalmente distribuídos. Pede-se:
(a) um intervalo de confiança para o diâmetro médio da produção de parafusos com nível de confiança de 95%;
Numa fábrica foi selecionada uma amostra aleatória de parafusos cujos diâmetros (em mm) estão registrados na tabela a seguir.
| 10 | 10 | 11 | 11 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 13 | 13 | 13 | 13 | 13 | 13 |
| 13 | 13 | 13 | 13 | 13 | 14 | 14 | 14 | 14 | 15 | 15 | 15 | 15 | 16 | 16 |
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados (retirados do enunciado):
- Número de observações:
. - Soma dos diâmetros:
. - Soma dos quadrados:
.
- Número de observações:
- Informação adicional dada: supõe-se que os diâmetros seguem uma distribuição Normal.
- O que se pede:
- (a) um intervalo de confiança para o diâmetro médio da produção de parafusos com nível de confiança de
.
- (a) um intervalo de confiança para o diâmetro médio da produção de parafusos com nível de confiança de
Passo 2
Calcular a média amostral
. A média amostral é a soma das observações dividida pelo número de observações:
Substituindo os valores fornecidos:
Interpretação rápida: a média dos diâmetros na amostra é
mm.
Passo 3
Calcular a variância amostral
e o desvio padrão amostral
. A fórmula (usada quando se conhece
e
) para a soma dos quadrados corrigida (Soma de Quadrados dos desvios) é
A variância amostral é
Calculemos passo a passo:
Então
E o desvio padrão amostral
Comentário didático: usamos
no denominador para obter um estimador não viciado da variância populacional (graus de liberdade).
Passo 4
Calcular o erro padrão da média (standard error). O erro padrão da média é
Substituindo os valores:
Interpretação: em média, a média amostral
tem incerteza cerca de
mm devido à variabilidade amostral.
Passo 5
Escolher a distribuição crítica adequada. Como a população é Normal e o desvio padrão populacional é desconhecido, devemos usar a distribuição
de Student com
graus de liberdade para construir o intervalo de confiança. Aqui:
Para nível de confiança
(bilateral), o quantil crítico é
com
. Consultando tabela de
(ou calculadora), obtemos
Explicação rápida: esse valor significa que
da massa da
-de-Student(29) está entre
e
.
Passo 6
Escrever a fórmula do intervalo de confiança para a média (quando
é desconhecido):
Aqui todos os termos já estão calculados:
,
, e
.
Passo 7
Calcular a margem de erro e o intervalo numérico:
Portanto o intervalo é
Logo os limites são
Passo 8
Interpretação final (modo de prova): Com
de confiança, o verdadeiro diâmetro médio da produção de parafusos está entre aproximadamente
mm e
mm. Em uma prova, escreva o intervalo com o número de casas decimais pedido; duas casas decimais é comum.