Questão 1 (PF - 2012.2)
Numa fábrica foi selecionada uma amostra aleatória de parafusos cujos diâmetros (em mm) estão registrados na tabela a seguir.
10 10 11 11 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13
13 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 15 16 16
com \sum_{i=1}^{30} x_{i}=393 e \sum_{i=1}^{30} x_{i}^{2}=5217. Suponha que os diâmetros sejam Normalmente distribuídos. Pede-se:
(a) um intervalo de confiança para o diâmetro médio da produção de parafusos com nível de confiança de 95%;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados (retirados do enunciado):
    • Número de observações: n=30.
    • Soma dos diâmetros: \sum_{i=1}^{30} x_i = 393.
    • Soma dos quadrados: \sum_{i=1}^{30} x_i^2 = 5217.
  • Informação adicional dada: supõe-se que os diâmetros seguem uma distribuição Normal.
  • O que se pede:
    • (a) um intervalo de confiança para o diâmetro médio da produção de parafusos com nível de confiança de 95\%.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x}. A média amostral é a soma das observações dividida pelo número de observações:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i.
Substituindo os valores fornecidos:
\bar{x}=\frac{393}{30}=13,1.
Interpretação rápida: a média dos diâmetros na amostra é \,13{,}1 mm.

Passo 3

Calcular a variância amostral s^2 e o desvio padrão amostral s. A fórmula (usada quando se conhece \sum x_i e \sum x_i^2) para a soma dos quadrados corrigida (Soma de Quadrados dos desvios) é
\text{SS}=\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2.
A variância amostral é
s^2=\frac{\text{SS}}{n-1}.
Calculemos passo a passo:
\text{SS}=5217 - 30\cdot(13,1)^2 = 5217 - 30\cdot 171{,}61 = 5217 - 5148{,}3 = 68{,}7.
Então
s^2=\frac{68{,}7}{29}\approx 2{,}368965517.
E o desvio padrão amostral
s=\sqrt{s^2}\approx\sqrt{2{,}368965517}\approx 1{,}539.
Comentário didático: usamos n-1 no denominador para obter um estimador não viciado da variância populacional (graus de liberdade).

Passo 4

Calcular o erro padrão da média (standard error). O erro padrão da média é
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Substituindo os valores:
\text{SE}\approx\frac{1{,}539}{\sqrt{30}}=\frac{1{,}539}{5{,}477225575}\approx 0{,}281.
Interpretação: em média, a média amostral 13{,}1 tem incerteza cerca de 0{,}281 mm devido à variabilidade amostral.

Passo 5

Escolher a distribuição crítica adequada. Como a população é Normal e o desvio padrão populacional é desconhecido, devemos usar a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade para construir o intervalo de confiança. Aqui:
\text{graus de liberdade}=n-1=29.
Para nível de confiança 95\% (bilateral), o quantil crítico é t_{1-\alpha/2,\,29} com \alpha=0{,}05. Consultando tabela de t (ou calculadora), obtemos
t_{0{,}975,\,29}\approx 2{,}045.
Explicação rápida: esse valor significa que 95\% da massa da t-de-Student(29) está entre -2{,}045 e +2{,}045.

Passo 6

Escrever a fórmula do intervalo de confiança para a média (quando \sigma é desconhecido):
\text{IC}_{1-\alpha}=\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Aqui todos os termos já estão calculados: \bar{x}=13{,}1, t_{0{,}975,29}\approx 2{,}045, e \dfrac{s}{\sqrt{n}}\approx 0{,}281.

Passo 7

Calcular a margem de erro e o intervalo numérico:
\text{margem}=2{,}045\times 0{,}281\approx 0{,}5746.
Portanto o intervalo é
13{,}1 \pm 0{,}5746.
Logo os limites são
\text{limite inferior}=13{,}1 - 0{,}5746 \approx 12{,}5254,
\text{limite superior}=13{,}1 + 0{,}5746 \approx 13{,}6746.

Passo 8

Interpretação final (modo de prova): Com 95\% de confiança, o verdadeiro diâmetro médio da produção de parafusos está entre aproximadamente 12{,}53 mm e 13{,}67 mm. Em uma prova, escreva o intervalo com o número de casas decimais pedido; duas casas decimais é comum.

Resposta

\displaystyle [12{,}53;\;13{,}67]

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