- Considerando as medidas utilizadas na estatística, explique o conceito de:
(d) Kurtosis
Passo 1
O enunciado pede explicitamente para explicar o conceito de kurtosis (curtose). Não foram dados outros dados numéricos nem restrições; a tarefa é conceitual e deve incluir definição matemática, interpretação e exemplos práticos. Vou descrever com calma o que é, como calcular (fórmulas), como interpretar na prática e um exemplo numérico passo a passo.
Passo 2
Começando pelo fundamento: momentos centrados. Para entender kurtosis precisamos primeiro saber o que é o momento central de ordem quatro. Para uma variável aleatória
com média
define-se o momento central de ordem
por
- Aqui
é a esperança (média) da variável. - Em particular, o segundo momento central
é a variância e mede dispersão: . - O quarto momento central
mede a média das potências quartas das distâncias à média; é sensível a valores distantes (outliers) porque eleva a distância à quarta potência.
Explicando didaticamente: enquanto a variância
dá uma medida quadrática da dispersão,
“amplifica” ainda mais as contribuições das observações longe da média. Kurtosis usa exatamente essa propriedade.
Passo 3
Definição matemática de kurtosis. A curtose (kurtosis) é a quarta momento central padronizado:
-
é a variância (como acima). -
é o quarto momento central.
É comum trabalhar com a chamada excess kurtosis (curtose em excesso), que subtrai 3:
O motivo do
é que a distribuição normal tem
. Assim:
- excess kurtosis
indica comportamento de caudas semelhante ao normal (nome: mesocúrtica ou mesokurtic); - excess kurtosis
indica caudas mais pesadas que a normal (leptocúrtica ou leptokurtic); - excess kurtosis
indica caudas mais leves que a normal (platicúrtica ou platykurtic).
Passo 4
Interpretação prática (linguagem simples, sem jargão):
- Kurtosis NÃO mede “altura do pico” de forma isolada — essa idéia é enganosa. O que realmente importa para kurtosis é o peso das caudas (quantas observações muito distantes da média aparecem) e, em conjunto com isso, como a massa se distribui centralmente.
- Valores altos de kurtosis (excess
) significam presença relativamente maior de outliers / caudas pesadas — mais probabilidade de valores extremos. - Valores baixos de kurtosis (excess
) significam caudas mais curtas — menos probabilidade de extremos.
Em resumo: kurtosis é um resumo numérico do “quanto” a distribuição tem tendência a gerar valores extremos em comparação com a normal.
Passo 5
Fórmulas práticas para amostras (como você calcula na prova):
Suponha uma amostra . Defina a média amostral
Suponha uma amostra
e a variância amostral não-viesada
Uma fórmula amplamente usada para o excesso de curtose amostral (com correção para vieses em amostras pequenas) é
- Aqui
é a soma das potências quartas das diferenças à média. -
é o estimador de excess kurtosis com correção de viés; para grande ele aproxima .
Se quiser o valor “bruto” (sem subtrair 3), calcule primeiro
ou simplesmente some 3 ao
.
Observação importante: para provas e interpretações rápidas muitas vezes basta usar a definição teórica
e relatar excess kurtosis como esse valor menos 3; a correção acima é relevante se precisar de um estimador com menos viés em amostras pequenas.
Passo 6
Exemplo numérico passo a passo (faça na prova se pedir cálculo): considere a amostra pequena
- Calcule a média:
- Calcule as diferenças à média e suas potências:
diferenças:.
Quadrados:
Soma dos quadrados:
Variância populacional (se usar
) seria
. (Para variância amostral use
. Aqui usamos
populacional para seguir a definição teórica.)
Quartas potências:
Soma:
Quarto momento populacional:
Kurtosis (populacional):
Excess kurtosis
, ou seja, ligeiramente leptocúrtica — sinalizando presença de um outlier que “puxa” as caudas.
Esse exemplo mostra o procedimento: calcular média, variância (ou
), quarto momento
e então
.
Passo 7
Comparações rápidas com distribuições conhecidas (para intuição):
- Normal:
e . - Distribuição uniforme contínua:
→ (platicúrtica). - Distribuição Laplace (mais ‘pontuda’ e caudas pesadas):
(kurtosis ) — caudas muito pesadas.
Dica prática: kurtosis é uma pista sobre caudas e propensão a outliers, mas não substitui gráficos. Sempre confira histogramas, boxplots e quantis ao interpretar curtose.
Passo 8
Armadilhas e recomendações para a prova:
- Não interprete curtose apenas como “pico mais alto” — enfatize caudas ao justificar a resposta.
- Se for calcular em amostras pequenas use a fórmula corrigida (
) mostrada no Passo 5. - Se a questão pedir “o que significa kurtosis alta?”, responda: “mais probabilidade de valores extremos do que a normal (caudas mais pesadas)”.
- Se pedirem diferença entre kurtosis e variância: diga que variância mede espalhamento típico (segundo momento) e curtose mede a propensão a extremos (quarto momento padronizado).
Resposta
Kurtosis é a razão entre o quarto momento central e o quadrado do segundo momento central, isto é,
; o valor mais usado é o excess kurtosis
. Interpretação: excess
(leptocúrtica) indica caudas mais pesadas que a normal (mais probabilidade de extremos), excess
(mesocúrtica) corresponde à normal, e excess
(platicúrtica) indica caudas mais leves; para amostras pequenas use a fórmula corrigida
para reduzir vieses.