Questão 21

Em uma aula de mecânica celeste, o professor discute a Terceira Lei de Kepler, conhecida como Lei dos Períodos, que relaciona o período orbital dos planetas ao tamanho de suas órbitas. Considere um sistema estelar binário composto por duas estrelas de massas M_{1} e M_{2}, que orbitam mutuamente seu centro de massa comum em órbitas circulares. Seja r_{1} o raio da órbita de M_{1} em relação ao centro de massa e r_{2} o raio da órbita de M_{2} em relação ao mesmo ponto. Considerando que a força gravitacional é a única interação significativa entre as duas estrelas, assinale a alternativa que expressa corretamente a relação entre o período orbital Te os parâmetros do sistema.
A) T^{2}=\frac{4 \pi^{2}\left(r_{1}+r_{2}\right)^{3}}{G\left(M_{1}+M_{2}\right)}
в) T^{2}=\frac{4 \pi^{2} r_{1}^{3} r_{2}^{3}}{G\left(M_{1} \cdot M_{2}\right)}
c) T=2 \pi \sqrt{\frac{r_{1}^{3}+r_{2}^{3}}{G\left(M_{1}+M_{2}\right)}}
D) T^{2}=\frac{4 \pi^{2}\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)}{G\left(M_{1}+M_{2}\right)}

Passo 1

O enunciado descreve um sistema binário de duas estrelas de massas M_{1} e M_{2} em órbitas circulares de raios r_{1} e r_{2} em torno do centro de massa comum. Queremos obter o período orbital T em função de G, M_{1}, M_{2}, r_{1} e r_{2}. Para isso usaremos as leis de Newton para força gravitacional e força centrípeta, além da definição de centro de massa.

Passo 2

Definimos a distância entre as estrelas como
r = r_{1} + r_{2}
e a condição de equilíbrio do centro de massa que dá
M_{1}\,r_{1} = M_{2}\,r_{2}\,.

Passo 3

A única força atuando em cada estrela é a atração mútua, dada por
F_{\text{grav}} = \frac{G\,M_{1}\,M_{2}}{r^{2}}.
Como o movimento é circular com velocidade angular \omega, a força centrípeta em M_{1} é
F_{\text{cent},1} = M_{1}\,\omega^{2}\,r_{1}.
Igualando
M_{1}\,\omega^{2}\,r_{1} = \frac{G\,M_{1}\,M_{2}}{r^{2}}.

Passo 4

Cancelando M_{1} e isolando \omega^{2}, obtemos
\omega^{2} = \frac{G\,M_{2}}{r^{2}\,r_{1}}.
Mas da condição de centro de massa temos
r_{1} = \frac{M_{2}}{M_{1}+M_{2}}\,r.
Substituindo em \omega^{2} resulta
\omega^{2} = \frac{G\,M_{2}}{r^{2}}\;\frac{M_{1}+M_{2}}{M_{2}\,r} = \frac{G\,(M_{1}+M_{2})}{r^{3}}.

Passo 5

Como o período está relacionado pela definição \;T = \frac{2\pi}{\omega}, segue
T^{2} = \frac{4\pi^{2}}{\omega^{2}} = \frac{4\pi^{2}\,r^{3}}{G\,(M_{1}+M_{2})} = \frac{4\pi^{2}\,(r_{1}+r_{2})^{3}}{G\,(M_{1}+M_{2})}.

Resposta

A) T^{2}=\dfrac{4 \pi^{2}\,\bigl(r_{1}+r_{2}\bigr)^{3}}{G\,(M_{1}+M_{2})}

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