Questão 21
Em uma aula de mecânica celeste, o professor discute a Terceira Lei de Kepler, conhecida como Lei dos Períodos, que relaciona o período orbital dos planetas ao tamanho de suas órbitas. Considere um sistema estelar binário composto por duas estrelas de massas
e
, que orbitam mutuamente seu centro de massa comum em órbitas circulares. Seja
o raio da órbita de
em relação ao centro de massa e
o raio da órbita de
em relação ao mesmo ponto. Considerando que a força gravitacional é a única interação significativa entre as duas estrelas, assinale a alternativa que expressa corretamente a relação entre o período orbital Te os parâmetros do sistema.
A)
в)
c)
D)
A)
в)
c)
D)
Passo 1
O enunciado descreve um sistema binário de duas estrelas de massas
e
em órbitas circulares de raios
e
em torno do centro de massa comum. Queremos obter o período orbital
em função de
,
,
,
e
. Para isso usaremos as leis de Newton para força gravitacional e força centrípeta, além da definição de centro de massa.
Passo 2
Definimos a distância entre as estrelas como
e a condição de equilíbrio do centro de massa que dá
Passo 3
A única força atuando em cada estrela é a atração mútua, dada por
Como o movimento é circular com velocidade angular
, a força centrípeta em
é
Igualando
Passo 4
Cancelando
e isolando
, obtemos
Mas da condição de centro de massa temos
Substituindo em
resulta
Passo 5
Como o período está relacionado pela definição
, segue
Resposta
A)