Questão 21. Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{x}+x\right)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to\infty}\bigl(e^{x}+x\bigr)^{1/x}.
O conteúdo principal aqui é limite de potência do tipo “ \infty^{0}”, e vamos usar a técnica de tomar logaritmo para transformar produto/potência em soma/produto mais fácil de analisar.

Passo 2

Definimos
y = \bigl(e^{x}+x\bigr)^{1/x}
e calculamos o logaritmo natural:
\ln y = \frac{1}{x}\,\ln\bigl(e^{x}+x\bigr).

Passo 3

Dentro do logaritmo, fatoramos e^{x}:
\ln\bigl(e^{x}+x\bigr) = \ln\!\bigl(e^{x}\bigl(1 + x\,e^{-x}\bigr)\bigr) = \ln\bigl(e^{x}\bigr) + \ln\bigl(1 + x\,e^{-x}\bigr) = x + \ln\bigl(1 + x\,e^{-x}\bigr).
Logo
\ln y = \frac{1}{x}\Bigl[x + \ln\bigl(1 + x\,e^{-x}\bigr)\Bigr] = 1 + \frac{\ln\bigl(1 + x\,e^{-x}\bigr)}{x}.
Como x\,e^{-x}\to0 quando x\to\infty, temos \ln(1 + x\,e^{-x})\to0. Portanto
\frac{\ln\bigl(1 + x\,e^{-x}\bigr)}{x}\;\longrightarrow\;0,
e assim
\ln y \;\longrightarrow\;1.

Passo 4

Se \ln y\to1, então y\to e^{1}=e. Como y era exatamente \bigl(e^{x}+x\bigr)^{1/x}, concluímos o limite desejado.

Resposta

e

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